- Titel: Mathematische Ergänzung zu Experimentalphysik I
- Organisation: UNI KIEL
- Seitenzahl: 111
Inhalt
- Mathematische Ergnzung a zu Experimentalphysik I
- Prof Dr Barbara Schrempp
- Empfohlene elementare Literatur
- Empfohlene weiterfuhrende Literatur
- Spatprodukt Zweifaches Vektorprodukt
- Vektordierentialgleichungen und Systeme gekoppelter Dierentialgleichungen
- Potenzreihe Taylorreihe und Nherungspolynom a
- Flchenbestimmung und Denition des bestimmten Riemannschen Integrals a
- Parameterabhngige Integrale a
- Identitten fr ZweifachDierentialoperationen a u
- Einfuhrung und Motivation
- Mathematik als Sprache der Physik
- Gultigkeitsbereich einer physikalischen Theorie
- Zweck und Ziel dieser Vorlesung
- Denition von Skalaren und Vektoren
- Addition und Subtraktion von Vektoren
- Addition von Vektoren
- Abbildung Fr die Vektoraddition gilt das u
- Subtraktion von Vektoren
- Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
- Vektoren im rechtwinkligen Koordinatensystem
- z z Pxy Pxyz
- Abbildung Komponentendarstellung von Vektoren
- a a e a e a e
- a e x a e a e
- Abbildung Summe und Dierenz zweier Vektoren in Komponentendarstellung
- Ganz allgemein gilt folgende
- Winkelbestimmung und der Kosinussatz
- ai e i bj ij
- Vertauschung der Reihenfolge
- ax b b a b a
- Distributiv und Assoziativgesetz
- Komponentendarstellung des Vektorprodukts
- sind nur sechs ungleich Null
- jkl el l jkl ei
- Funktionen Vektorfunktionen und ihre Ableitungen
- Funktionen und ihre Ableitungen
- Denition einer Funktion und Beispiele
- Umkehrfunktion y f x
- lim f x x f x
- Tangente in x
- fx x fx yfx x
- wobei die Ersetzungsvorschrift y gx nach der Ableitung
- Ableitung der Umkehrfunktion
- d f y d f x dy dx
- Dazu werden in den Ubungen Beispiele gerechnet
- Vektorfunktionen und ihre Ableitungen
- Physikalische Motivation fur Vektorfunktionen
- Ableitung von Vektorfunktionen
- Sie lassen sich leicht in Komponentendarstellung herleiten
- Einfache gewhnliche Dierentialgleichungen o
- Gewhnliche Dierentialgleichungen o
- Homogene lineare Dierentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koezienten
- der Dierentialgleichung Entsprechend gilt
- a b x C sinh
- yx e x C C x
- mit beliebigen Konstanten C und C
- In diesem Fall wird
- y x e x cos
- Mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems cos sin b
- Harmonischer Oszillator am Beispiel der Auslenkung einer Feder
- Feder in Ruhe
- x Feder ausgelenkt
- D t m m m
- Inhomogene lineare Dierentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koezienten
- D t C sin m m
- Diskussion der speziellen Lsung Resonanz o
- Schwingungs amplitude x
- fallende Werte von
- samt ihren Ableitungen
- in der xyEbene die in Abb dargestellt ist
- vy vx vy bzw xW g g
- Physikalisches Beispiel gekoppelte Schwingungen
- Folgen Reihen Grenzwerte
- Zahlenfolgen und Grenzwerte
- wenn es zu jedem
- gilt fr n u
- lim an bn a b
- Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
- Denition von Stetigkeit
- lim fn x f x x D
- lim f xn f x
- lim f xn yl
- lim f xn yr
- lim f x lim lim f x lim
- f x lim f x yl
- f x lim f x yr
- Ist der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert
- lim f x lim f x
- Denition von Reihen
- ak a a an
- q k q q q k
- q n n q q
- Denition Eine Reihe
- ak ist absolut konvergent wenn sogar
- Gibt es fr eine Reihe u
- Potenzreihe Taylorreihe und Nherungspolynom a
- Denition und Motivation
- xn x x x xn
- zur gliedweisen Integration
- f n x x x n n
- f n x x x n n
- f x f x x x
- f f x x heißt der Entwicklungspunkt
- fr alle x R u
- Die Taylorentwicklung von f x
- n xn x x x x n
- n n x x x x n
- Physikalische Motivation und Einfuhrung
- Einfaches Beispiel f x c
- Flchenbestimmung und Denition des bestimmten Riemannschen a Integrals
- x x x x x x
- Rechenregeln fur bestimmte Integrale
- u fr ckonstant
- Das unbestimmte Riemannsche Integral
- c f x dx c
- dargestellt in Abb
- f x dx f x dx
- F b F a F x
- Methoden zur Bestimmung von Integralen
- das oensichtlich leichter zu integrieren ist
- Dies fhrt auf die allgemeine u
- dy d y gxxg dx
- dgy der Integrand der yIntegration leichter dy
- arcsin b arcsin a arcsin b
- cos y dy arcsin b arcsin a
- arcsin b arcsin a
- f x gx dx f x gx
- f x g x leichter ausfhrbar u
- ex x dx ex x
- ex dx x ex
- eb b ea a
- Parameterabhngige Integrale a
- Ein einfaches Beispiel ist
- f x f x dx
- Integration durch Dierentiation
- x e x dx e b e a
- fhrt fr auf das gesuchte Integral u u
- d b ea e d
- x x x x x x
- Ein weiteres einfaches Beispiel ist das Feld
- Fr das Skalarfeld Ar u konstant gezeichnet
- Denition der partiellen Ableitung r x x x
- xj ij oder kurz i xj ij xi
- Mehrfache partielle Dierentiation
- Kettenregel und totales Dierential
- x x x alle xi
- heißt totales Dierential
- Anwendung Dierentiation eines Parameterintegrals
- nach gilt d d F d d
- d x f x mit
- d F x f x dx
- d b a bb d
- Richtungsableitung und Gradient
- x r r n n rr
- Dieses Ergebnis schrieben werden
- Rechenregeln fur den Gradienten
- grad r r grad r r die Produktregel
- Taylorentwicklung fur Skalarfelder
- Die Taylorentwicklung fur ein Skalarfeld wird
- r gradn r n
- formal ein Skalarprodukt des Vektordierentialoperators Nabla
- mit dem Vektorfeld Ar
- Rechenregeln und Beispiele fur die Divergenz
- r Ai r r Ai r xi xi
- ist fr alle i j u
- Der Dierentialoperator div grad x x x
- Denition der Rotation von Vektorfeldern
- rot Ar fr k u
- Rechenregeln und Beispiele fur die Rotation
- Physikalische Motivation Maxwellgleichungen
- r t Br t t Er t t
- rot Er t div Br t
- rot Br t jr t
- Identitten fur ZweifachDierentialoperationen a
- Wirbelfreiheit von Gradientenfeldern
- grad div Ar div grad Ar
Vorschau
Mathematische Erg¨nzung a zu Experimentalphysik I
Skript einer zweistundigen Vorlesung ¨ (gehalten im WS 2004/05, WS 2005/06, WS 2006/07)
Prof. Dr. Barbara Schrempp
Empfohlene elementare Literatur
• “Mathematik f¨r Physiker I und II”, 12. Auflage, K. Weltner, Springer Verlag, 2001 u • “Mathematischer Einf¨hrungskurs f¨r die Physik”, 8. Auflage, S. Großmann, Teubner Veru u lag, 2000 • “Physik mit Bleistift”, H. Schulz, Harri Deutsch Verlag, 2004
Empfohlene weiterfuhrende Literatur ¨
• “Mathematische Methoden in der Physik”, C.B. Lang und N. Pucker, Spektrum Akademischer Verlag, 1998 (Hochschultaschenbuch) • “Mathematik I und II – Geschrieben f¨r Physiker”, K. J¨nich, Springer Verlag, 2001 (von u a einem Mathematiker, der den Stoff der Analysis und der Linearen Algebra zeitnah zum Stoff der Experimentalphysik I und II anordnet) • E. Kamke, “Differentialgleichungen, Bd. 1, Gew¨hnliche Differentialgleichungen”, Teubner o Verlag, 2002.
Danksagung
Ich danke Prof. Dr. E. Pehlke daf¨r, dass er mir das handschriftliche Skript seiner Vorlesung u “Elementare Mathematische Methoden der Physik I” zur Verf¨gung gestellt hat. Es hat neben u vielf¨ltiger weiterer Literatur zur Stoffauswahl und Stoffgestaltung dieser Vorlesung beigetragen. a
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einfuhrung und Motivation ¨ 1.1 Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mathematik als Sprache der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 G¨ltigkeitsbereich einer physikalischen Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.4 weck und iel dieser Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Vektorrechnung 2.1 Definition von Skalaren und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 7 8 8 9 10 11 12 12 14 14 15 15 16 16 16 16 17 18 18 19 19 20 20 21 22 22 22 23 24 25 27
2.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rechtwinkliges Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Vektoren im rechtwinkligen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6 2.7.7 Ortsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komponentendarstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summe und Differenz zweier Vektoren in Komponentendarstellung . . . . . Betrag eines Vektors in Komponentendarstellung . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . Sonderf¨lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Winkelbestimmung und der Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komponentendarstellung des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition des Vektorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertauschung der Reihenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributiv- und Assoziativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sonderf¨lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Komponentendarstellung des Vektorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . Formulierung mit Hilfe des antisymmetrischen Tensors . . . . . . . . . . .
2.6 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 weifaches Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Funktionen, Vektorfunktionen und ihre Ableitungen 3.1 Funktionen und ihre Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Definition einer Funktion und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umkehrfunktion und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit und Ableitung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 28 28 29 30 32 32 33 33 34 35 36 36 37 41 41 42 43 45 47 47 48 50 51 51 53 55 56 57 59
3.2 Vektorfunktionen und ihre Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Motivation f¨r Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . u Ableitung von Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Einfache gew¨hnliche Differentialgleichungen o 4.1 Physikalische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gew¨hnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3 Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.2 4.3.3 Diskriminante > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskriminante = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskriminante < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 Kr¨ftefreie Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Harmonischer Oszillator am Beispiel der Auslenkung einer Feder . . . . . . Tunneleffekt in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ged¨mpfter harmonischer Oszillator am Beispiel der Auslenkung einer Feder 49 a
4.6 Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.7.1 4.7.2 Methode der Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalisches Beispiel: der getriebene harmonische Oszillator . . . . . . . Diskussion der speziellen L¨sung: Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . o Physikalisches Beispiel: die Wurfparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalisches Beispiel: gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Vektordifferentialgleichungen und Systeme gekoppelter Differentialgleichungen . .