Vorlesung Mathematik für Physiker

Vorlesung Mathematik fur Physiker II ¨

Andreas Knauf∗ Wintersemester 2007/08

usammenfassung Vorlesungsbegleitendes Skript f¨r das 3. Semester. Anregungen und Kritik u sind willkommen!

1 Department Mathematik, Universit¨t Erlangen-N¨rnberg, Bismarckstr. 1 2 , D–91054 Era u langen, Germany. e-mail: knauf@mi.uni-erlangen.de, web: www.mi.uni-erlangen.de/∼knauf ∗

Inhaltsverzeichnis

ur Notation Kleines Englisch-W¨rterbuch o 1 Vektoranalysis I 1.1 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . 1.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . 1.3 Differentialoperatoren, Koordinatenwechsel 1.4 Die Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v vi 1 1 6 9 13 17 17 18 22

2 L¨sungsmethoden f¨r gew¨hnliche Differentialgleichungen o u o 2.1 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hamiltonsche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Integrabilit¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

3 Stabilit¨t bei gew¨hnlichen Differentialgleichungen a o 23 3.1 Allgemeine Bedeutung der Linearisierung . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Stabilit¨tsbegriffe f¨r Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . . 25 a u 3.3 Stabilit¨tskriterien f¨r Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . 29 a u 4 Maß und Integration 4.1 Treppenfunktionen . . . . . . 4.2 Das Lebesgue-Integral . . . . 4.3 Der Satz von Fubini . . . . . 4.4 Nullmengen . . . . . . . . . 4.5 Abbildungen von Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 35 40 46 50 53 56 56 68 71 76 78 80

5 S¨tze und Rechenregeln der Lebesgue-Integration a 5.1 Der Banach–Raum L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . 5.2 Der Satz von Fubini (L1 -Version) . . . . . . . . . 5.3 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Anwendung: Polarkoordinaten im Rn . . . . . . . 5.5 Lp –R¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.6 Der Hilbert–Raum L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . .

6 Vektoranalysis II 86 6.1 Integration von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3 Das Poincar´-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 e

ii

7 Die 7.1 7.2 7.3

Fourier-Transformation Fourier–Transformation integrabler Funktionen . . . . . . . . . Fourier–Transformation auf L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . Fourier–Transformation f¨r abelsche Gruppen . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 . 101 . 109 . 111 115 . 115 . 120 . 122 . 128 . 134 138 . 138 . 140 . 142 145 146 148

8 Funktionentheorie 8.1 Holomorphe Funktionen . . . . . . 8.2 Holomorphie von Potenzreihen . . . 8.3 Integration holomorpher Funktionen 8.4 Der Residuensatz . . . . . . . . . . 8.5 Harmonische Funktionen . . . . . .

9 * Die Mathematik der Quantenmechanik 9.1 Quantenmechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Unbeschr¨nkte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.3 Orthonormalbasen und St¨rungstheorie . . . . . . . . . . . . . o A Rechenregeln der Vektoranalysis im R3 Literatur Index

Danksagung: Ich danke Frau I. Moch f¨r ihre hervorragende Arbeit beim Schreiu ben des Manuskriptes und Herrn PD Dr B. Fauser f¨r zahlreiche wichtige Koru rekturhinweise. Erlangen, im M¨rz 2009, A.K. a u Vorbemerkungen: Mit * gekennzeichnete Kapitel sind nicht Pr¨fungsstoff.

iii