Quantenfeldtheorie

• Titel: Quantenfeldtheorie
• Organisation: UNI KASSEL
• Seitenzahl: 212

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Inhalt

• Vorlesung im Wintersemester
•  LagrangeFormalismus fur Felder
• EulerLagrangeGl Erhaltungssatz mit
• Kontinuit tsgl a mit
• R Q F F H F F G
• Kontinuit tsgleichung a
• Die explizite Abh ngigkeit der LagrangeDichte von a
• spielt daher die Rolle eines Quellterms
• steht f r alle Koordinaten Im folgenden u
• denn es gilt
• f r den die Kontinuit tsgleichung u a
• gilt Dann vereinfacht sich der Noethersche Tensor zu
• Beginnen wir mit den Feldern der Elektrodynamik
• Die zugeh rgie LagrangeDichte ist o
• mit dem Feldtensor
• Damit lautet die LagrangeDichte ausgeschrieben
• Die EulerLagrangeGleichungen sind nach Gl
• wird Die linke Seite ist
• so daß die Bewegungsgleichungen
• Damit lautet die Bewegungsgleichung zu der obigen LagrangeDichte
•  Kontravariante und kovariante Vektoren
• Wir betrachten stetige Koordinatentransformationen
• und die Umkehrtransformation
• Im Fall der LorentzMetrik gilt
• Aus der Bedingung
• Analog ergibt sich f r das u
• Daraus erhalten wir
• Jetzt ist aber mit Hilfe der Umkehrtransformation
• Somit folgt f r u
• bei einem Wechsel des Koordinatensystems von
• andern Es folgt
• Bei dieser Verr ckung erhalten u
• Analog lassen sich Indizes heraufziehen
• F r das Skalarprodukt ergibt sich u
• Die Denition des Impulsvierervektors ist analog
• F r das Skalarprodukt bekommen wir u
• Somit haben wir
• Wir verwenden auch die Bezeichnung
• F r das Skalarprodukt resultiert u
• die drei PauliMatrizen sind
• Die PauliMatrizen erf llen die Vertauschungsrelationen u
• Dies hat die Form der Kontinuit tsgleichung a
• mit der positiv deniten Dichte
• und der Stromdichte
• Mit den Denitionen
• Damit lautet die freie DiracGleichung
• hingegen ist hermitesch und unit r a
• Eine explizite Darstellung lautet
• Damit kann die DiracGleichung geschrieben werden als
• Mit Hilfe einer unit ren Transformation mit a
• gelangt man zu anderen Darstellungen der Matrizen
• sind antihermitesch und unit r dh a
• k nnen wir formal schreiben o
•  Freie Bewegung eines DiracTeilchens
• Wir notieren die freie DiracGleichung in der Form
• oder komponentenweise ausgeschrieben
• Einsetzen in und liefert
• Die Paulischen Spinmatrizen sind
• Es gelten die Vertauschungsrelationen
• Diese Gleichungen lassen sich kompakt schreiben als
• Gleichung f hrt damit auf u
• ein antisymmetrische Tensor dritter Stufe Damit folgt
• nehmen wir jetzt als Ansatz den ZweierSpinor
• Wir bekommen also
• mit der Norm
• Zusammengefaßt ergibt sich
• Daraus resultiert daß den Helizit tsoperator a
• und diagonalisiert werden kann Dasselbe trifft auf
• In der Impulsdarstellung nimmt
• eine besonders einfache Gestalt an
• mit den Eigenwerten
• Die Eigenvektoren von
• einzuf hren u ist hermitesch
• F r diesen Vorzeichenoperator gilt u
• wobei der vierkomponentige Spaltenvektor
• Die Normierungskonstante wurde so bestimmt daß gilt
• befriedigt Es sei nun Gleichung
• eine L sung f r o u
• die Gleichung die
• Wir werten nun generell
• aus Es folgt
• hat als Eigenwert offensichtlich das Vorzeichen
• Ferner stellen wir die Orthogonalit tsrelation fest a
• Wir multiplizieren nun mit liefert
• von links sowie mit
• von rechts Die Addition
• da und Denition
• antikommutieren Mit der Normierungs bereinkunft u
• und die zweite von rechts mit
• Jetzt multiplizieren wir die Gleichung
• Somit folgt die Orthogonalit t a
• Die Orthogonalit t lautet nun a
• Weiter multiplizieren wir von rechts mit
• von links Dies ergibt
• und zu negativer Energie orthogonal zu
• Hier lautet die Orthogonalit tsrelation a
•  Einfuhrung der Pfadintegration
• Vorwort zur PfadintegralMethode
• Quantenuktuationen und die Summe uber alle Pfade
• die Plancksche Konstante MeV s
• Offensichtlich ist aber generell
• zuzuordnen Die Gesamtamplitude
• ist dann gegeben durch
• Repetitorium zur Greenschen Funktion in der Quantenmechanik
• in einem Potential
• Die Eigenfunktionsdarstellung der Greenschen Funktion
• Die rein ortsabh ngigen Wellenfunktionen a
• seien vollst ndig und orthonormal a
• Somit folgt zusammengefaßt
• lassen sich leicht bestimmen Wir bilden
• Die Wirkung in der klassischen Mechanik
• Nun nutzen wir die Relation f r u
• aus Wir erhalten
• ausdr cken Zum Zeitpunkt u
• stellt die Funktionalableitung der Wirkung
• in bezug auf den Weg dar
• Nach partieller Integration erhalten wir bekanntermaßen
• Wir setzen die Denition ein
• Wir erhalten die Hamilton Funktion durch
• Die Hamiltonischen Bewegungsgleichungen lauten
• gewonnen werden Dazu muß man die Wirkung
• als auch die generalisierten Im
•  Diskussionen im Rahmen des HamiltonFormalismus
• Das Zeitintervall dargestellt
• qqa tta t ti ti ti
• Wir haben dabei die abk rzende Bezeichnung u
• eingef hrt Analoges gilt f r u u
• Wir integrieren uber alle Phasenraumvolumenelemente
• alle Pfade von nach
• Der harmonische Oszillator wird durch die LagrangeFunktion
• werden durch die Randbedingungen folgendermaßen festgelegt
• gepr ft werden u
• mit den Randwerten
• Um den klasssischen Pfad Bewegungsgleichung
• f r den Fall u
• zu erhalten muß die aus abgeleitete
• in die allgemeine L sung unter o
• Die zus tzliche Integration a integriert werden muß
• wird durch eine partielle Integration wesentlich vereinfacht
• Damit haben wir auch
• Berechnung des Integrals
• bezeichne das bestimmte Integral
• Multiplikation von und ergibt
• wobei wir das Resultat verwendet haben
• Nun substituieren wir wieder
• Dies f hrt auf u
• Wir betrachten zun chst den a folgt
• eine gerade Funktion ist folgt auch
• Damit ergibt sich zusammenfassend
• Wir f hren die Integration explizit aus u
• Zusammengefaßt folgt also
• Als neue Variable f hren wir nun u
• Mit der Substitution
• Damit erhalten wir
• ist ein Gauß Integral
• Hier ist eine Konstante Von der Funktion
• bilden wir die Ableitung in bezug auf
• Dann haben wir Schu
• Wir k nnen aber auch in substituieren o
• Betrachten wir noch einmal das Integral
• so gilt speziell
• ist Hingegen folgt bei der entsprechenden Erwei
• l ßt sich dann schreiben als a
• Mit der Denition der Gamma Funktion
• bekommen wir f r u
•  Die Pfadintegraldarstellung des Propagators unter Verwendung der LagrangeFunktion
• separierbare GaußIntegrale uber die
• fache Impulsintegration liefert daher einen Faktor
• Dies f hrt uns direkt auf u
• F r den Propagator bekommen wir also u
• Aufspaltung der Pfadintegration
• Dieser Ausdruck gilt in erster Ordnung in
• F r ein innitesimales Zeitintervall u schreiben
• zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten k nnen wir o
• wobei der Normierungsfaktor
• zun chst noch nicht speziziert werden muß a
• Wir betrachten im eindimensionalen Fall die Lagrange Funktion
• wesentliche Beitr ge zum Integral gibt Damit a
• Dies f hrt bez glich auf u u
• Dies ergibt schließlich
• Dies ist die Schr dinger Gleichung o
• mit dem Hamilton Operator
• beide Seiten von
• an Dabei machen wir von dem Zusammenhang
• Die entsprechenden Wellenfunktionen sind
• beschr nken Dann gilt die Denitionsgleichung a
• Damit bekommen wir aus
• wobei das Produkt im Matrixelement
• Dabei haben wir ausgenutzt
• mit dem Kommutator
• mal auftritt Nun gilt
• ist diagonal im Ortsraum
• Dies f hrt schließlich auf u
• Terme auf die jeweils als Faktor den
• Der Integrand ist gerade die klassische Lagrange Funktion
• Wir setzen nun wieder
• und wir erhalten
• ein und bekommen
• Ausfuhrung der Pfadintegration Die freie Propagation
• Pfadintegrale in der nichtrelativistischen Quantenmechanik
• Die Zustandsvektoren sind auf Deltafunktionen normiert
• Die Ortsdarstellung des ImpulsEigenzustandes ist die ebene Welle
• Dies l sen wir formal durch o
• Demzufolge lautet die Zeitentwicklung des Operators
• Die Dynamik von
• in der bewegten Basis verstehen
• Im Rahmen der Pfadintegralmethode betrachten wir die Ubergangsamplitude
• mit den St tzpunkten u
• wird auch als Transfermatrix
• Die Gr ße o
• Wir schreiben im folgenden kann Somit bekommen wir
• Ein m glicher Pfad der die Punkte o
• gew hlt werden a
• Wir verallgemeinern die Darstellung
• Aus dem Differenzenquotienten wird eine Zeitableitung
• Ferner haben wir
• erhalten wir schließlich
• Mit der Wahl
•  Die FeynmanForm des Pfadintegrals
• Oftmals hat die HamiltonFunktion eines Systems die Standardform
• Ferner transformieren wir die Integrationsvariable auf
• Das Gaußsche Integral f hrt auf u
• integriert Es tritt das Wirkungsfunktional auf
• Somit erhalten wir
•  Zeitgeordnetes Produkt und PunktFunktionen
• Drehung der Zeitachse ins Komplexe
• mit der Eigenschaft
• ist die zum Zustand
• geh rige Wellenfunktion im Ortsraum Damit folgt o
• ein Dann lautet der Grenzfall des Matrixelements
• Damit resultiert die gesuchte PunktFunktion als Limes
• ausgerechnet es folgte
• Der Ausdruck f r u
• muß noch ausgewertet werden
• so folgt nach Einsetzen der klassischen Wirkung
• f r die klassische Wirkung u
• Dabei haben wir ausgenutzt daß gilt
• F r den Potentialterm folgt ahnlich u
• Damit ist das Pfadintegral proportional zu
• Damit bekommen wir
• Die Eigenfunktionen fur das Potential des harmonischen Oszillators
• Hierbei haben wir die abk rzende Bezeichnung u
• eingef hrt Die Hermiteschen Polynome u
• sind gegeben durch
• und generell durch
• sowie die Eigenfunktionen
• f r das Oszillatorpotential u
• Damit k nnen wir Gleichung schreiben als o
• Daraus folgt offensichtlich
• Daraus folgt sofort
• Komplexe skalare Felder und das elektromagnetische Feld
• Damit ergibt sich
• Dies muß dasselbe sein wie schieben werden in
• Der Ausdruck in der eckigen Klammer kann umge
• dann k nnen wir ein komplexes skalares o
• Der hierzu geh rige Teil der o
• folgt f r den betrachteten Spezialfall u
• Der erhaltene NoetherStrom bestimmt sich dann aus
• Dieser Strom hat eine verschwindende ViererDivergenz
• F r diese Erhaltungsgr ße gilt u o
• Damit lautet die LagrangeDichte
• Die Eichtransformation kann ausgedr ckt werden als u
• Dies ist gleichbedeutend mit
• Die Gleichungen implizieren eine Rotation des Vektors
• um den Winkel
• Figur Eine Rotation des Feldes
• im inneren Raum
• Auf der anderen Seite wurde die Trans
• Damit bekommen wir
• und setzen die Variation
• F r die Variation ergibt sich u
• und damit zusammengefaßt das erw nschte Ergebnis u
• Wir addieren noch einen dritten Term zu
• in der LagrangeDichte ersetzt haben durch
• ist der Winkel der Rotation
• Dies folgt f r u
• F r ein innitesimales u
• aus der allgemeinen Gleichung
• Wir nutzen nun die Vektoridentit t aus a
• kann dies nicht befriedigen denn es folgt
• Dies erg be zusammengefaßt a
• wobei ein innerer Index ist Es resultiert explizit
• F r das nichtabelsche Eichfeld gilt jedoch u
• Entwicklung in ebene Wellen
• Wenn wir in der Elektrodynamik das Vektorpotential
• lautet ausgehend von
• die Gleichung f r die Amplitude u
• in ebene Wellen entwickeln dh
• Die Stromdichte ist ahnlich gegeben durch
• Wir m ssen noch die Gleichung u
• und es gilt außerdem
• Wir setzen dies ein in und erhalten
• der transversale Anteil von
• Die Kontinuit tsgleichung sagt aus a
•  Die kanonische Quantisierung von Feldern
• Das Schr dingerFeld o
• f hren auf die Schr dingerGleichung u o
• Die PoissonKlammern zwischen den Feldern theorie II als
• zitieren wir aus der Vorlesung Quanten
• konjugierte Feld verschwindet Die HamiltonDichte lautet
• als zwei unabh ngige Felder betracha
• Dies impliziert sofort die folgenden Vertauschungsrelationen
• bestimmt Dies wird gel st durch o
• Die Zeitabh ngigkeit der Operatoren a
• ist dann durch
• Der Operator der Teilchenzahl ist deniert durch
• resultiert als Eigenwert des Operators
• Der Teilchenzahloperator zeitunabh ngig a
• TeilchenzahlOperatoren vertauschen untereinander
• Dieser Zustandsvektor ist bereits auf normiert
• Quantisierung fur FermiTeilchen
• F r Fermionen gelten Antikommutationsregeln der Feldoperatoren u
• V llig analog folgt o
• Insbesondere verschwindet das Quadrat eines Erzeugungs oder Vernichtungsoperators
• Die LagrangeDichte f r ein reelles SpinFeld u
• verwenden Dies macht die Gleichungen ubersichtlicher Die EulerLagrangeGleichung
• f hrt auf die KleinGordonGleichung u
• mit der Masse
• W W W W
• Als kanonisch konjugiertes Feld resultiert
• Um die Bewegungsgleichung f r u onsrelation
• Somit bekommen wir
• F r die HamiltonDichte erhalten wir somit u
• zu erhalten differenzieren wir zun chst die Kommutatia
• Die allgemeine L sung dieser Differentialgleichung ist o
• ist offensichtlich Wegen
• Damit lautet die Basisentwicklung von
• mit zeitunabh ngigen Operatoren a
• ausgegengen Daher sollte der zugeh rige Feldopeo
• lautet die Basisent
• mit der relativistischen Notation
• und den konjugierten Feldoperator
• Dieser Operator beinhaltet jedoch massive Schwierigkeiten Es ist
• In jedem Zustand
• Damit verbleibt nur noch eine einzelne Impulsintegration
• Wir f hren jetzt die Integration uber u
• aus dies f hrt auf Funktionen u
• Einsetzen des EnergieImpuls Tensors liefert
• Das geladene KleinGordonFeld
• Die HamiltonFunktion erh lt die Form a
• Ebenso erhalten wir f r den Impulsoperator u
• Die Anzahloperatoren vertauschen mit dem HamiltonOperator Daher ist
• ein Damit folgt
• Aus erhalten wir weiter
• Hierbei ist jeweils
• Hierbei haben wir die Vorzeichenfunktion
• da der Integrand eine ungerade Funktion in
• ist Wir differenzieren nach
• wegen der Antisymme
• gilt es resultiert
• Somit resultiert schließlich
• Daher haben wir
• und nutzen aus das
• die KleinGordonGleichung erf llt Ferner folgt u
• Hierzu setzen wir ein
• erf llt die homogene KleinGordonGleichung u
• Speziell ergibt sich f r gleiche Zeiten u
• chronologische Ordnung der Operatoren statt Mit
• Andere Anteile verschwinden da gilt
• Zusammengefaßt bekommen wir daher
• Abbildung Die Integrationskontur
• mit den Polstellen
• F r einen Pol u
• ter Ordnung gilt
• Wir betrachten jetzt das Integral
• dient zur Denition des FeynmanPropagators
• F r den Fall u Damit haben wir
• beschrieben Beim Punkt wird es
•  Zweite Quantisierung des DiracFeldes
• Symmetrische Form der LagrangeDichte des DiracFeldes
• Die LagrangeDichte des DiracFeldes
• ist auch invariant unter globalen Phasentransformationen
• Daraus folgt entsprechend dem NoetherTheorem ein erhaltener Stromdichtevektor
• kennzeichnen wir die L sungen o
• Wir verwenden die Operatoridentit t a
• Die ebenen Wellen gen gen der DiracGleichung u
• den algebraischen Gleichun
• Vollkommen analog resultiert
• Wir setzen die Entwicklung des Feldoperators ein
• Wir multiplizieren von links mit
• und bekommen so mit
• Das Spektrum der DiracGleichung
• Hinsichtlich der Operatoren
• Hier haben wir mit
• eingef hrt Es ist u
• Damit bekommen wir f r den Ladungsoperator u
• Daher haben wir auch
• Der FeynmanPropagator fur DiracFelder
• Somit ist auch
• Somit folgt f r den FeynmanPropagator u
• Die SpinSummen f hren auf die Projektionsoperatoren u
• Wir wenden den Operator
• Die vierdimensionale Fourierdarstellung von lautet
• Somit k nnen wir auch schreiben o
• Somit haben wir insgesamt
• verschwindet f r die Zeitdifferenz u
• Wir setzen dies in ein und bekommen
• Zum Elektronenpropagator S
• Damit gilt auch
• eine GrassmannVariable ist
• Differentiation erfolgt offensichtlich durch
• F r die zweite Ableitung gilt u
• gew hnliche Zahlen sind Beispielsweise gilt auch o
• Multiple Integrale werden sukzessive ausgef hrt u
• kennen Nun ist
•  Weitere Bemerkungen zu GrassmannVariablen
• F r GrassmannZahlen u
• Genauso gilt analog zu
• Als Beispiel betrachte
• Beweis Mit Hilfe von
• Auch hier wende den Antikommutator auf an
• Man kann die letzten beiden Gleichungen zusammenfassen zu
• Mit Hilfe von erh lt man dann a
• Feldtheorie und Pfadintegrale
• Der quantenmechanische Zustand wird durch den Propagator charakterisiert
• Dann erf llt das klassiu
• Asymptotisches Ausschalten des Quellterms
• wobei der Index
• Wir nehmen an daß die externe Quelle
• Die VakuumPersistenzAmplitude die VerweilAmplitude
• f r große Zeiten adiabatisch ausgeschaltet wird u
•  Damit bekommen wir f r das Ubergangsmatrixelement u
• Das so denierte Vakuumfunktional kann berechnet werden durch
• Hierzu f hren wir erneut u
• kann durch die Forderung
• Wir k nnen die fache Funktionalableitung von o
• nach der Funktion
• Feldtheorie im Euklidischen
• Das Quadrat des euklidischen Impulsvektors ist
•  Das Pfadintegral fur skalare Quantenfelder
• Mit dem kanonisch konjugierten Feld
• lautet die zugeh rige HamiltonFunktion o
• Der Feldoperator gen gt der HeisenbergGleichung u
• Die zugeh rigen Randbedingungen sind o
• Hierbei haben wir als Feldvariable
• Die HamiltonDichte ist
• unter der Bedingung
• mit dem kanonisch konjugierten Feld
• Das VakuumVakuumUbergangsfunktional lautet dann
•  Konstruktion des Pfadintegrals in der Feldtheorie
• Der HamiltonOperator der diskretisierten Theorie endliches
• tn tt l l l
• eingeschoben Dann ergibt das Matrixelement des HamiltonOperators
• der HamiltonDichte auftritt Als Verallgemei
• in der Quantenmechanik verwenden wir nun
• Das UberlappMatrixelement in wird damit
• Im Kontinuumslimes wird dies
• mit der Abk rzung u
• Damit bekommen wir schließlich
• F r das Ubergangselement folgt damit schließlich u
•  Der Propagator fur das KleinGordon Feld
• Dieser Ausdruck ist von der Form
• Damit folgt offensichtlich
• Wir verwenden jetzt das bereits abgeleitete Resultat
• Dies f hrt uns auf u
• Das Skalarprodukt ist im euklidischen Raum deniert durch
• Um die inverse Gr ße o
• Also haben wir
• Der inverse Ausdruck lautet offensichtlich
• Es galt zuvor
• Wir haben nun
• Damit k nnen wir f r o u
•  Das masselose Vektorfeld
• Die EulerLagrange Gleichungen ergeben dann
• zu einer Zeit
• mit einer beliebigen Funktion tionen
• Die Feldst rken a
• die MaxwellGleichungen befriedigen so
• bleiben invariant bei den Substitu
• Der Term ausnutzen daß gilt
• Bei Poincar Transformationen e
• transformiert sich das Vektorpotential wie
• F r den EnergieImpuls Vektor folgt u
• Aufgrund der LorentzBedingung gilt
• Die FourierDarstellung von
• Dies gilt f r den feldfreien Fall u
• Aufgrund der Eichbedingung haben wir
• Einsetzen in den EnergieImpuls Vektor liefert
• wobei sind Es gilt
• Wir untersuchen die FourierDarstellung der Funktion
•  Der Propagator fur das Photon
• wobei der FeynmanPropagator
• die Gleichung befriedigt
• F r SpinorFelder mit der LagrangeDichte u
• ist die Punkte Funktion gerade mal dem Propagator
• Die LagrangeDichte kann umgeschrieben werden in
• Nach partieller Integration des zweiten Terms folgt
• Hieraus erkennen wir daß rator auf
• U U U
• das Inverse dieses Ope
• Mit dem eichxierenden Term
• kann die LagrangeDichte insgesamt geschrieben werden als
• Dies impliziert jedoch
• Das Inverse hiervon ergibt den Propagator
• hat ein Inverses der als FeynmanPropagator bekannt ist
•  Die Greensche Funktion fur die freie skalare Feldtheorie
• Aus der Darstellung
• Wir berechnen nun die Greenschen Funktionen nach
• Sie ist assoziiert
• Die freie Greensche Funktion symbolisiert durch
• f r verbundene Greensche Funktionen ein durch u
• In unserem feldfreien Fall folgt
• Die verbundenen Greenschen Funktionen wicklung
• sind deniert durch die Funktionalent
• Diagrammatisch symbolisieren wir
• Aufgrund der Funktion ist
• nur deniert f r u
•  Die effektive Wirkung und die irreduzible Greensche Funktion
• wobei wir die Notation
• und damit schließlich
• denieren durch die Transforma
• Wir f hren das klassische Feld u
• ein durch die Denition
• Insgesamt bekommen wir in der Tat
• nicht exakt bestimmen
• Wir berechnen nun Damit ist
• F r die freie Theorie folgt aus u
• Es folgt offensichtlich aus und
• Funktionen aber keine Funktionale von
•  St rungsreihe fur wechselwirkende Felder o
• Das erzeugende Funktional der wechselwirkenden Theorie lautet damit
• Dies f hrt zu der Schreibweise u
• Wieder wird der Normierungsfaktor so bestimmt daß gilt
• Damit folgt explizit
• Damit bekommen wir beispielsweise
• Um das erzeugende Funktional ander dividiert werden
• Damit folgt auch bis zur quadratischen Ordnung
• Mit dieser Rekursionsbeziehung lassen sich sukzessive die
• berechnen Speziell folgt f r u
•  FeynmanRegeln fur die
• Entsprechend folgt f r die zweite Ableitung u
• In diesem Zusammenhang erinnern wir an die Funktionalableitungsregel
• Die dritte Ableitung wird zu
• Theorie ableiten Wir gehen aus von
• Die vierte Ableitung lautet schließlich
• Es ist zu beachten daß zu jedem Vertex
• auf sowie ein konstanter Term der Form
• Explizit ausgeschrieben bekommen wir
• Explizit ausgeschrieben gilt
• Weiter erhalten wir
• der den Faktor
• enth lt Es folgt a
• auf Zus tzlich gibt es a
• Wir fassen die verbundenen Greenschen Funktionen zusammen
• Theorie in erster Ordnung ausgerechnet
• Dies k nnen wir erneut diagrammatisch darstellen o
• Wir integrieren uber jeden Impuls
• einer inneren Schleife mit dem Gewicht
• tragen ordnen wir einen Faktor
• und aufgrund der Gesamtimpulserhaltung
• wobei der Winkel zwischen
• Dies pr fen wir nach u
• Es gilt die allgemeine Relation
• Aufgrund der EnergieImpulserhaltung folgt
• Damit ist der Streuprozess vollst ndig durch a
• Im Schwerpunktsystem gilt aber
• und daher schließlich
•  Regeln fur FeynmanGraphen
• W W U W W
• Wie ublich ist
• Polarisationsvektor f r jede außere Photonenlinie u
• die Masse des Bosons
• die Masse des Fermions
• F r jeden geschlossenen Fermionenring ein Faktor u
• Ein Faktor Ein Faktor
• Wir haben ausgenutzt daß gilt
• an jeden Vertex eines Spinors die
• Damit k nnen wir o
•  Relativistisch invarianter Wirkungsquerschnitt
• Die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ist dann gegeben durch
• dividieren ist dabei der Skalar
• Damit erhalten wir schließlich
• Erinnert sei daran daß sowohl
• relativistisch invariante Gr ßen sind o indem
• verbraucht Nun gehen wir in das
• Die Differentation nach
• die Gesamtenergie darstellt Der Ausdruck wir quadrieren
• Das verbliebene Differential
• schreiben wir in der Form
• l ßt sich nun bestimmen wenn a
• Im Schwerpunktsystem gilt
• Figur Austauschprozeß zur PhotonElektron Streuung
• Figur Direkt und Austauschgraph zur ElektronPositron Paarvernichtung
• Die MandelstamVariablen lauten nun
•  Summationen uber Polarisationen
• Wir pr fen dies nach u
• F r eine Reihe von Operatoren u
• l ßt sich a
• Hierbei haben wir ausgenutzt
• und sofort ausrechnen zB
• Als Beispiel berechnen wir
• Allgemeiner haben wir
• Als n chstes untersuchen wir den Ausdruck a
• Wir nutzen jetzt die Vollst ndigkeitsrelation aus a
• Entsprechend gilt generell
• Damit erhalten wir abschließend
• Damit folgt als Resultat
• w hrend wir f r a u
• damit gilt speziell f r u
• Wir schreiben die Summen uber die Spins um
•  Spuren von Matrizen
• In der Beweisf hrung verwenden wir u
• Durch Fortsetzen dieses Prozesses erhalten wir
• und schieben damit
• auf die rechte Seite von
• nach rechts durch Das liefert
• Minuszeichen und wir erhalten insbe
• Jetzt nutzen wir die
• Das Skalarprodukt der Matrizen mit sich selbst ist
• Unter Verwendung von
• Abschließend betrachten wir noch den folgenden Ausdruck
• Ebenso ergibt sich
• Ferner betrachten wir
•  ElektronPositronPaarerzeugung durch zwei Photonen
• auslaufendes Elektron auslaufendes Positron einlaufendes Photon einlaufendes Photon
• Die beiden Vertizes liefern die Faktoren
• verwendet wurden Sie sind mit den MandelstamVariablen uber
• wobei die Abk rzungen u
• Die invariante Streuamplitude Matrix uber folgende Beziehung
• Uber alle inneren Linien wird dabei mit
• integriert Damit lautet die SMatrix
• mit der Denition
• die unter Verwendung von und folgendermaßen lauten
• Mit den Regeln
• ergibt sich der Ausdruck
• ersetzt Das Ausmultiplizieren erzeugt vier Terme
• Weiterhin erinnern wir an die wichtige Vertauschungsrelation
• aus welcher man die Relationen
• Diese lassen sich zusammenfassen zu
• Die verschiedenen Terme proportional zu
• beinhalten die Spuren
• Daraus folgt unmittelbar
• Im letzten Schritt wurde von der Beziehung
• Gleichzeitig erhalten wir aus und
• Weiterhin erhalten wir die interessante Relation
• benutzt Der einzige Term proportional zu
• Damit ist auch
• auswerten F r die u
• Man beachte daß dieser Ausdruck symmetrisch in und
• Der Term proportional zu
• was sich zusammenfassen l ßt als a
• Damit erhalten wir
• Einsetzen von und in ergibt
•  Totaler Wirkungsquerschnitt fur die e e Erzeugung
• deren zwei L sungen die Integrationsgrenzen denieren o
• ein Der totale Wirkungsquerschnitt lautet dann mit
• Nun ist es ublich die Gr ße o
• Diesen Ausdruck setzen wir in ein und bekommen
• In einem Bezugssystem in dem das Photon Relation
• Nun setzen wir die Integrationsgrenzen ein und erhalten
• Figur Totaler Wirkungsquerschnitt der Paarerzeugung
•  Winkelverteilung der ElektronPositronErzeugung
• Da im Schwerpunktsystem
• Damit erhalten wir auch die Beziehungen
• welche in eingehen
• Unter Verwendung von und
• k nnen wir schreiben o
• Im ultrarelativistischen Fall gilt
• Es treten zwei symmetrische Maxima bei
• auch umschreiben in die Form
• reduziert sich das auf
• Einsetzen von bis in ergibt
• jedoch existiert ein lokales
• Wir f hren Polarkoordinaten ein und setzen u
• mit reellem Dann haben wir
• haben jeweils verschwindende Vakuumerwartungswerte Mit diesem Ansatz folgt
• Figur Das Potential hat ein Minimum bei
• und ein lokales Maximum bei
• Hierbei haben wir ausgenutzt Ferner gilt
• Wieder stellt sich das resultiert
• als Quadrat der Masse der Wert
• mit der Nebenbedingung
•  Spontane Brechung der Eichsymmetrien
• w hrend weiter gilt a
• sind die physikalischen Felder jetzt
• und F r das Potential folgt u
• Der Vakuumwert von setzten
• zeigt in die
• Richtung im IsospinRaum Indem wir ferner
• Wenn der Parameter
• ist liegt das Minimum bei
• Ausgedr ckt durch die physikalischen Felder u
• Wieder setzten wir
• lautet nun die LagrangeDichte
• Die physikalischen Felder sind dann
• Damit folgt f r die LagrangeDichte u
• Das Potential V hat f r u
• ein Minimum bei Richtung zeigt
• ein massives skalares Feld
• Damit eliminieren wir nun die Felder
• und wir haben
• Der zugeh rige erhaltene Strom lautet o
• F r u dominiert
• In Lorentzkovarianter Form geschrieben lautet diese Gleichung
• aufweist was wiederum ein Charakteristi
• ein Setzt man die numerischen
• Somit folgt aus und
• symmetrisch Symmetrie brechend
• Ein Standardbeispiel ist
• Wir spezialisieren uns auf das explizite Potential
• und dem kanonischen Impuls
• hat Minima bei
• und denieren ein verschobenes Feld
• Damit folgt f r den Vakuumzustand u
• W W W W
• Zusammengefaßt folgt f r das Potential u
• Wie zuvor betrachten wir das effektive Potential
• Wir entwickeln nun um die Vakuumkonguration
• entspricht wieder der exakten Symmetrie Der ein
• Damit bekommen wir f r kleine Oszillationen u
• die minimale Ankopplung beschreibt Weiterhin gilt
• und unter der lokalen Eichtransformation
• und wie ublich
• ein komplexes Feld ist
• ein massives Vektorfeld
• ein Feld mit Masse
• zur ckkehren u
• Damit folgt f r kleine Oszillationen u
• Wir parametrisieren es durch

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