Einführung in die Modallogik

  • Titel: Einführung in die Modallogik
  • Organisation: UNI TUEBINGEN
  • Seitenzahl: 135

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Inhalt

  • Einfhrung in die Modallogik u
  • Version vom Januar
  • I Modallogik und Philosophie
  • Einf hrung u Modallogik und Philosophie Kursbeschreibung
  • Uniforme Substitution Modalverknpfungen u
  • Nichtklmnkonuente Eigenschaften von R Denierbarkeit erster Stufe
  • Grundbegrie der modalen Prdikatenlogik a
  • Modale Prdikatenlogik Syntax a
  • Modale Prdikatenlogik Semantik a
  • Glossar zur Mengenlehre
  • Modallogik und Philosophie
  • Einf hrung u
  • Modale Aussagenlogik Syntax
  • Alphabet von ML
  • Formel von ML
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK SYNTA
  • Einige Informale Lesarten von A
  • Verum Disjunktion Konjunktion Bikonditional
  • A A A A
  • A A A A A A A A
  • Regelungen zur Klammerersparnis
  • Konventionen zur Notation
  • Modalverkn pfungen u
  • Modale Aussagenlogik Semantik
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK SEMANTIK
  • Wahrheit an einem Punkt in einem Modell
  • M s A A gdw
  • Wahrheit in einem Modell
  • G ltigkeit in einem Rahmen u
  • Iteration von R
  • Fall A M u aufgrund von
  • Modale Aussagenlogik Korrespondenz
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK KORRESPONDENZ
  • klmnkonuente Eigenschaften von R
  • Nichtklmnkonuente Eigenschaften von R
  • Denierbarkeit erster Stufe
  • Modale Aussagenlogik Semantische Folgerung
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK SEMANTISCHE FOLGERUNG
  • Lokale semantische Folgerung
  • Globale semantische Folgerung
  • und wir haben ein beliebiges M mit M
  • Modale Aussagenlogik Normallogische Systeme
  • Eine Zusammenstellung einiger Hughes Cresswell auf Seite
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK NORMALLOGISCHE SYSTEME
  • Extension einer Logik
  • Beispiele fr Logiken u
  • A An A
  • Falls n dann
  • Eine Menge F ma
  • Wenn dann Wenn
  • Wenn A dann Wenn und
  • B dann A und
  • Modus Ponens Wenn
  • A ist die kleinste Logik die
  • Korrektheit Wenn M s und
  • A dann M s A
  • A gdw A ist nicht konsistent
  • A ist konsistent gdw
  • Beispiele fr Normallogiken u
  • Das System K
  • Die Beweisregeln von K
  • hypothetischer Syllogismus Exportation
  • Wir schreiben dh und sind identisch wenn und
  • Ableitbarkeit aus nichtleeren Formelmengen
  • A gdw es eine endliche Menge gibt mit
  • A B Deduktionstheorem
  • Ableitbarkeit und semantische Folgerung
  • Modale Aussagenlogik Vollstndigkeit a
  • Starke und schwache Vollstndigkeit I a
  • Starke und schwache Vollstndigkeit II a
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK VOLLSTANDIGKEIT
  • Satz Starke Vollstndigkeit a
  • Aufgrund des Deduktionstheorems erhalten wir
  • Mit folgt aus dieser Aussage
  • Wird auf und angewendet erhalten wir
  • Eigenschaften maximaler Mengen
  • Angenommen ist maximal wir haben dann
  • A impliziert A
  • Nun haben wir dh A
  • Daraus und aus erhalten wir
  • was der Maximalitt von widerspricht a
  • A und dann
  • Damit erhalten wir aus
  • Wir haben das Theorem
  • Wir haben Theorem dh
  • Damit erhalten wir aus A
  • Mit Theorem dh A gdw A
  • erhalten wir aus A
  • Kanonische Modelle und kanonische Rahmen
  • gdw A F ma A s t
  • Nun ist eine Normallogik und enthlt a
  • Mit Theorem erhalten wir daraus s
  • erhalten Mit MP gewinnen wir aus und
  • t S t impliziert A t
  • Aufgrund von Theorem erhalten wir daraus s
  • Aus und erhalten wir mit MP s
  • Vollstndigkeitstheorem f r K a u
  • Aus und erhalten wir mit MP
  • dh sRKB t dh tRKB s
  • Somit haben wir auch gdw
  • gdw s S A s
  • Modale Aussagenlogik Entscheidbarkeit
  • Hinreichende Bedingungen f r Entscheidbaru keit
  • KAPITEL MODALE AUSSAGENLOGIK ENTSCHEIDBARKEIT
  • Endliche Modelleigenschaft fmp
  • Kleinstes und grßtes Filtrat o
  • M s B gdw M s B
  • Aus und erhalten wir M s B
  • Die Endlichkeit von S
  • M s A das Beweisziel
  • Endliche Rahmeneigenschaft ffp
  • Separierte endliche Modelle I
  • Denierbare Varianten I
  • Separierte endliche Modelle II
  • As s U und s V p
  • Denierbare Variante II
  • Separierte endliche Modelle III
  • fmp und Vollstndigkeit a
  • Starke endliche Modelleigenschaft sfmp
  • Starke endliche Rahmeneigenschaft sffp
  • Isomorphe Rahmen und Modelle
  • Modale Prdikatenlogik a Syntax
  • KAPITEL MODALE PRADIKATENLOGIK SYNTA
  • Modale Prdikatenlogik a Semantik
  • KAPITEL MODALE PRADIKATENLOGIK SEMANTIK
  • Variablenbelegung und Termauswertung
  • de re und de dicto
  • Semantik ohne BF
  • Semantik ohne BFC
  • KAPITEL GLOSSAR ZUR MENGENLEHRE

Vorschau

Einf¨hrung in die Modallogik u

Bartosz Więckowski Universit¨t Rostock a Institut f¨r Philosophie & entrum f¨r Logik, u u Wissenschaftstheorie und Wissenschaftsgeschichte Universit¨t T¨bingen a u Wilhelm-Schickard-Institut bartosz.wieckowski@uni-tuebingen.de

Version vom 4. Januar 2008

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Vorwort

Das Skript ist aus einem Kurs hervorgegangen, den ich im Sommersemester 2003 in usammenarbeit mit Michael Arndt und Peter Schroeder-Heister an der T¨binger Uni durchf¨hren durfte. Das Skript ist in drei Teile geglieu u dert. Der erste Teil dient der allgemeinen Einf¨hrung. Der zweite Teil ist der u modalen Aussagenlogik gewidmet; er basiert haupts¨chlich (und unverkenna bar) auf den ersten vier Abschnitten aus [Goldblatt, 1992]. Der dritte Teil des Skripts besch¨ftigt sich mit der modalen Pr¨dikatenlogik und richtet sich a a in erster Linie nach dem dritten Teil von [Hughes & Cresswell, 1996]. Die Notation orientiert sich nach dem Buch von Goldblatt. Das Skript erhebt keinen Anspruch auf Originalit¨t; es bestehen die folgenden Abh¨ngigkeitsa a verh¨ltnisse: a • Kapitel 2 (Syntax): [Blackburn et al., 2001], [Chellas, 1980], [Goldblatt, 1992]. • Kapitel 3 (Semantik): [Blackburn et al., 2001], [Goldblatt, 1992]. • Kapitel 4 (Korrespondenz): [Blackburn et al., 2001], [Chellas, 1980], [Goldblatt, 1992]. • Kapitel 5 (Semantische Folgerung): [Blackburn et al., 2001]. • Kapitel 6 (Normallogische Systeme): [Blackburn et al., 2001], [Chellas, 1980], [Goldblatt, 1992], [Hughes & Cresswell, 1996]. • Kapitel 7 (Vollst¨ndigkeit): a [Blackburn et al., 2001], [Goldblatt, 1992]. • Kapitel 8 (Entscheidbarkeit): [Blackburn et al., 2001], [Goldblatt, 1992], [Friedrichsdorf, 1992]. • Teil III (Grundbegriffe der modalen Pr¨dikatenlogik): a [Hughes & Cresswell, 1996], [Friedrichsdorf, 1992]. Ich danke Michael Arndt, Hans-Joachim Daniels, Michael Deelwater, Stefan Gulan, Claus Herbertz, Stanislaus Husi, Damir Markota und Fabian Sinz f¨r ihre Hinweise auf Errata in fr¨heren Fassungen. F¨r Hinweise auf Fehler u u u jeder Art bin ich nach wie vor dankbar. B.W.

Inhaltsverzeichnis

I Modallogik und Philosophie 7

8 8 12

1 Einf¨ hrung u 1.1 1.2 Modallogik und Philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kursbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Modale Aussagenlogik

14

15 15 15 16 17 17 18 18 19 19 20 20

2 Modale Aussagenlogik: Syntax 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Alphabet von ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formel von ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs: BNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Informale Lesarten von 2A . . . . . . . . . . . . . . . Definierte Konnektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelungen zur Klammerersparnis . . . . . . . . . . . . . . . Konventionen zur Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Uniforme Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Modalverkn¨pfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u