Einfuehrung in die Algebra

Einfuhrung in die Algebra ¨

Sommersemester 2011 Universitat Bayreuth ¨ Michael Stoll

Inhaltsverzeichnis 14. Endlich erzeugte Moduln uber Hauptidealringen ¨ 15. Quadratische Reste und das Quadratische Reziprozit¨tsgesetz a 16. Gruppen und Gruppenhomomorphismen 17. Normalteiler und Faktorgruppen 18. Operationen von Gruppen auf Mengen Literatur 2 12 23 29 33 37

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Diese Vorlesung setzt die Vorlesung Einf¨hrung in die ahlentheorie und algeu ” braische Strukturen“ aus dem Wintersemester 2010/2011 fort. Dem entsprechend schließt sich auch dieses Skript unmittelbar an das Skript zur vorigen Vorlesung an. Insbesondere wird die Nummerierung der Abschnitte fortgef¨hrt. u ¨ 14. Endlich erzeugte Moduln uber Hauptidealringen Wir erinnern uns an den Satz, den wir am Ende der vorigen Vorlesung bewiesen haben (Satz und Definition 13.3): 14.1. Satz und Definition. Sei R ein Hauptidealring, seien m, n ≥ 0, und sei A ∈ Matm×n (R). Dann gibt es r ∈ ≥0 und Elemente d1 , d2 , . . . , dr ∈ R mit dj | dj+1 f¨r 1 ≤ j < r und dr = 0, so dass A zu diagm,n (d1 , d2 , . . . , dr ) ¨quivalent u a ist. Die Elemente d1 , . . . , dr sind bis auf Assoziierte eindeutig bestimmt. Diese Elemente d1 , . . . , dr heißen die Elementarteiler der Matrix A. Wir wollen jetzt aus diesen Satz uber die Normalform von Matrizen uber Haupt¨ ¨ idealringen einen Struktur- bzw. Klassifikationssatz f¨r endlich erzeugte Moduln u ” uber Hauptidealringen“ ableiten. Ein wichtiger Spezialfall dieser Struktur sind ¨ abelsche Gruppen (f¨r R = , siehe unten); da der Beweis aber der selbe ist und u das allgemeinere Ergebnis auch n¨tzlich ist, wollen wir hier den allgemeineren Satz u zeigen. Dazu m¨ssen wir aber erst die relevanten Begriffe einf¨hren. Wir werden u u weiterhin stillschweigend annehmen, dass alle Ringe kommutativ sind. 14.2. Definition. Sei R ein (kommutativer) Ring. Ein R-Modul ist ein Quintupel (M, 0, +, −, ·), bestehend aus einer Menge M , einem Element 0 ∈ M , einer Verkn¨pfung + : M × M → M (Addition), einer Abbildung − : M → M (Neu gation) und einer Verkn¨pfung · : R × M → M (skalare Multiplikation), so dass u (M, 0, +, −) eine abelsche Gruppe ist und zus¨tzlich gilt: a (1) (2) (3) (4) 1 · m = m f¨r alle m ∈ M ; u (r + s) · m = r · m + s · m f¨r alle r, s ∈ R, m ∈ M ; u r · (m + m ) = r · m + r · m f¨r alle r ∈ R, m, m ∈ M ; u (rs) · m = r · (s · m) f¨r alle r, s ∈ R, m ∈ M . u

Wenn die restlichen Daten aus dem Kontext klar sind, spricht man (wie analog in anderen F¨llen) einfach vom R-Modul M“. Statt r · m schreibt man meistens rm. a ” Der Plural von der Modul“ im hier definierten Sinne ist die Moduln“ (und nicht ” ” die Module“). ” Ein R-Modul ist also formal das selbe wie ein K-Vektorraum, nur dass man den K¨rper K durch einen beliebigen Ring R ersetzt. S¨mtliche Aussagen uber Veko a ¨ torr¨ume, f¨r deren Beweis man nicht verwenden muss, dass von null verschiedene a u Elemente des K¨rpers invertierbar sind, gelten damit auch f¨r Moduln. um Beio u spiel gelten die Regeln 0·m=0 f¨r alle r ∈ R, m ∈ M . u und (−r) · m = r · (−m)

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14.3. Bemerkung. Man kann R-Moduln auch f¨r nicht kommutative Ringe R defiu nieren. Die obige Definition ergibt dann einen R-Linksmodul. Analog definiert man RRechtsmoduln, indem man die skalare Multiplikation von rechts operieren l¨sst. Ist R a kommutativ, dann sind beide Strukturen isomorph.

Abelsche Gruppen kann man als Spezialfall auffassen: 14.4. Proposition. Jede abelsche Gruppe (A, 0, +, −) ist“ ein -Modul, d.h., ” es gibt eine eindeutig bestimmte skalare Multiplikation · : × A → A, so dass (A, 0, +, −, ·) ein -Modul ist. Beweis. Die skalare Multiplikation ist die Vervielfachungsabbildung: Es muss gelten 0 · a = 0, 1 · a = a, (−1) · a = −a und (f¨r n ∈ ≥0 ) u (n + 1) · a = n · a + a, (−n − 1) · a = (−n) · a − a . Das liefert eine eindeutige induktive Definition der skalaren Multiplikation, und man uberzeugt sich davon, dass sie die relevanten Eigenschaften hat. Etwas an¨ schaulicher gilt f¨r n ∈ ≥0 u n · a = a + a + … + a

n Summanden

und (−n) · a = −(n · a) = n · (−a) = (−a) + (−a) + . . . + (−a) .

n Summanden

14.5. Bemerkung. Sind R1 und R2 Ringe und ist φ : R1 → R2 ein Ringhomomorphismus, dann l¨sst sich aus jedem R2 -Modul M ein R1 -Modul machen, indem man die a gleiche additive Struktur verwendet und f¨r die skalare Multiplikation r1 · m := φ(r1 ) · m u setzt.

14.6. Beispiele. Sei R ein Ring. Dann ist Rn (oder allgemeiner, R f¨r eine u beliebige Menge ) ein R-Modul, indem man die Operationen komponentenweise definiert. Insbesondere ist R selbst in nat¨rlicher Weise ein R-Modul. u Analog zu Vektorr¨umen gibt es Untermoduln. a 14.7. Definition. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Ein R-Untermodul (oder auch nur Untermodul ) von M ist eine Teilmenge U ⊂ M , die bez¨glich der releu vanten Operationen abgeschlossen ist: Es gilt 0 ∈ U , und f¨r u, u ∈ U und r ∈ R u gilt u + u , −u, r · u ∈ U . Dabei ist die Forderung −u ∈ U“ wegen −u = (−1) · u ” entbehrlich. Es ist dann klar, dass (U, 0, +|U ×U , −|U , ·|R×U ) wieder ein R-Modul ist. 14.8. Beispiele. Ist M ein R-Modul, dann sind 0 := {0} ⊂ M und M selbst stets (triviale) Untermoduln von M . Die Untermoduln des R-Moduls R sind genau die Ideale von R. Wie bei Untervektorr¨umen und Idealen gilt: a