- Titel: Differenzial- und Integralrechnung
- Organisation: UNI LEIPZIG
- Seitenzahl: 211
Inhalt
- Einleitung
- Motivation
- Die Axiome der reellen Zahlen
- Algebraische Axiome
- Die Anordnungsaxiome
- Vollständigkeitsaxiome
- Die natürlichen Zahlen und vollständige Induktionen
- Supremum und Infimum
- Beträge und Ungleichungen
- Betrag
- Ungleichungen
- Binomischer Satz
- Binominalkoeffizient
- Der Binomische Lehrsatz
- Grenzwerte von Zahlenfolgen
- Motivation
- Grenzwertsätze
- Monotone Zahlenfolgen
- Teilfolgen und der Satz von Bolzano-Weierstraß
- Teilfolgen
- Das Cauchy Konvergenzkriterium
- Divergente Folgen
- Unendliche Reihen
- Komplexe Zahlen
- Einführung
- Exakte Definitionen
- Konjugiert komplexe Zahl und Betrag
- Grenzwerte komplexer Zahlenfolgen
- Das Cauchysche Konvergenzkriterium
- Unendliche Reihen und einfache Konvergenzkriterien
- Definitionen
- Einfache Konvergenzkriterien
- Wurzel- und Quotientenkriterium
- Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen
- Rechenregeln für Reihen
- Funktionen und ihre Grenzwerte
- Der Funktionenbegriff
- Stetige Funktionen
- Operationen mit stetigen Funktionen
- Einseitige Stetigkeit
- Grenzwerte von Funktionen
- Definition
- Rechenregeln
- Einseitige Grenzwerte
- Supremum und Infimum bei Funktionen
- Sätze über stetige Funktionen
- Zwischenwertsatz
- Satz von Weierstrass über Maximum und Minimum
- Umkehrfunktion
- Potenzen mit reellen Exponenten
- Gleichmäßige Stetigkeit
- Differentialrechnung von Funktionen mit einer Variable
- Ableitung
- Definitionen
- Geometrische Interpretation
- Einfache Folgerungen
- Differentiationsregeln
- Ableitung der Exponentialfunktion
- Kettenregel
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Einseitige Ableitungen
- Der Taylorsche Lehrsatz
- Einführung
- Der Mittelwertsatz
- Formulierung des Taylorschen Lehrsatzes
- Konvexität
- Höldersche Ungleichung – Youngsche Ungleichung
- Unbestimmte Ausdrücke und die l’Hospitalsche Regel
- Typ 0/0 für xa+0
- Typ 0/0 für x
- Typ / für xa+0, oder x
- Typ 0
- Typ 00
- Typ 0
- Typ 1
- Typ –
- Newtonverfahren
- Die Landauschen Symbole o und O
- Potenzreihen
- Konvergenzradius
- Konvergenz von Potenzreihen
- Rechnen mit Potenzreihen
- Summenfuktion einer Potenzreihe
- Stammfunktion einer Potenzreihe
- Identitätssatz für Potenzreihen
- Quotienten von Potenzreihen
- Der Abelsche Grenzwertsatz
- Winkelfunktionen
- Integration
- Unbestimmte Integrale
- Stammfunktion
- Einige Grundintegrale
- Integrationsregeln
- Partialbruchzerlegung
- Intergation der Partialbrüche
- Diverse Substitutionen
- Rekursion für die Winkelfunktionen
- Das RIEMANsche Integral (bestimmte Integrale)
- Definitionen des Riemann – Integrals
- Eigenschaften
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Partielle Integration
- Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium
- Uneigentliche Integrale
- Unbeschränkte Intervalle
- Integrale unbeschränkter Funktionen über beschränkten Intervallen
- Gammafunktion
- Laplace-Transformation zur Lösung gew. DGL
- Literatur
Vorschau
Skript zur Vorlesung Analysis A Differenzial- und Integralrechnung von Funktionen mit einer Variable
Dozent: Prof. Dr. Rainer Schumann erstellt von Sebastian Wirthgen
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Die Axiome der reellen ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Algebraische Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Vollständigkeitsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Die natürlichen ahlen und vollständige Induktionen 1.2.5 Supremum und Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Beträge und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Binominalkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Grenzwerte von ahlenfolgen 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Monotone ahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Teilfolgen und der Satz von Bolzano-Weierstraß 2.4.1 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Das Cauchy Konvergenzkriterium . . . . 2.5 Divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 10 11 12 14 15 16 16 18 19 19 20 21 21 26 31 33 33 35 37 39 39 39 40 41 43 45 46 46 48 51 56 57
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3 Unendliche Reihen 3.1 Komplexe ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Exakte Definitionen . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Konjugiert komplexe ahl und Betrag . . . . 3.1.4 Grenzwerte komplexer ahlenfolgen . . . . . 3.1.5 Das Cauchysche Konvergenzkriterium . . . . 3.2 Unendliche Reihen und einfache Konvergenzkriterien 3.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Einfache Konvergenzkriterien . . . . . . . . . 3.2.3 Wurzel- und Quotientenkriterium . . . . . . . 3.2.4 Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen 3.2.5 Rechenregeln für Reihen . . . . . . . . . . . . 3