Einführung in die Stochastik

  • Titel: Einführung in die Stochastik
  • Organisation: UNI PADERBORN
  • Seitenzahl: 127

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Inhalt

  • Einfuhrung in die Stochastik
  • Skript zur Vorlesung Universitt Paderborn Sommersemester a
  • INHALT Kovarianz Bedingte Erwartungswerte
  • iv Ubungsaufgaben mit Lsungen o
  • GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN MODELLE
  • Grundlegende Denitionen Modelle
  • direkt dem folgenden Hilfssatz zu entnehmen
  • S s N S ns N n
  • Die Wkeit dass ich frh aufstehen u
  • Diskrete nichtkombinatorische Modelle
  • r dr ec r ec r
  • P E Ui P Ui
  • Beweis P E P E
  • P E Ui P Ui
  • P E Uj P Uj
  • P Ui P E Ui
  • Irrfahrten auf Graphen
  • E E E Eine wichtige Tatsache ist
  • IRRFAHRTEN AUF GRAPHEN
  • f d fd x f d
  • d d s C d
  • h t rr rr j c
  • f q v f x
  • P sv rt P svk rt j r
  • P s vi P vi
  • P s vi PPfad
  • Unabhngigkeit von Ereignissen a
  • Denition Technische Denition Unabhngigkeit von Ereignisfamilien a
  • UNABHANGIGKEIT VON EREIGNISSEN
  • Modellierung unabhngiger Experimente Produktmoa delle
  • P Pj j Pn n
  • Pn n Pi Ei
  • Nach Bayes gilt P U Ek
  • n k nk pk qnk p q
  • P E Ui P Ui
  • P U P U P U
  • gefhrt Damit gilt u
  • zu betrachen Wir betrachten die Menge aller
  • e d e de e d c
  • r mit einem Wkeitsmaß zu versehen
  • t dt et t dt et
  • t t t t t t t t
  • e e e e e e
  • lim F r lim F r
  • P Ei lim F n
  • rn r
  • Mit der Additivitt folgt hieraus a
  • F rn F r in
  • r r
  • Mit der Additivitt folgt hieraus a
  • F ri F ri
  • DEFINITIONEN F T F r
  • Sprunghhe P r o
  • f ri F ri F ri
  • f r dF r f r dF r
  • Falls F stetig dierenzierbar ist
  • R E r r r r b r
  • f ri F i ri ri
  • f ri Mit n ri
  • Durch Umsummation ergibt sich die Darstellung
  • f rn F rn f r F r
  • f ri f ri F ri
  • Erwartungswert und Streuung
  • ERWARTUNGSWERT UND STREUUNG
  • b Ist kontinuierlich mit der Dichte r
  • F r so gilt mit Satz
  • r dr lim r R
  • r dr lim ln R r R
  • f r P r E f
  • dF r dr dr
  • f r dF r E f
  • Beispiel Betrachte einen Zufallszahlengenerator der GleitpunktZahlen
  • mit der Dichte
  • fr r u fr r u
  • Die Verteilungsfunktion ist
  • Der Erwartungswert ist
  • ri F ri F ri
  • Dies ist eine StieltjesSumme fr u
  • also gilt mit n
  • xi yi xi yj zk
  • P xi yj zk
  • xi yj P xi yj zk
  • xi P xi yj zk xi
  • yj P xi yj zk yj
  • P xi yj zk xi P xi
  • yj P Y yj E E Y
  • P E QED
  • n k nk p q k
  • d p qn p n p qn dp
  • E E E
  • k k P k
  • k k pk q nk p
  • Beweis Mit den Forderungen n gungen n nk
  • EINIGE STANDARDVERTEILUNGEN Es gilt die StirlingFormel
  • n nk lnp e e n k nk
  • ek k ln n en plnp ek lnp
  • Beachte ln die Approximationen k
  • fr Fr kn u u
  • Die geometrische Verteilung
  • Die hypergeometrische Verteilung
  • s minn S
  • F t P t
  • e r dr e e
  • UC F r F streng monoton
  • Eine weitere interessante Funktion ist r
  • Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a
  • Denition und Folgerungen
  • P r n rn
  • r r r r r r r r
  • KAPITEL ZUFALLSVARIABLEN b F n r rn
  • P c ergibt sich aus
  • UNABHANGIGKEIT VON ZUFALLSVARIABLEN
  • A r n rn
  • Zufall regiert die Welt
  • P P P P
  • f r rn dF n r rn
  • xnin P n xnin
  • i i j i i
  • E i j E i E j
  • f r dF r A
  • f r P r A
  • E f Ui P Ui
  • Beweis Die Formel von der totalen Wkeit liefert
  • F r Ui P Ui
  • Anwendungen Laufzeitanalyse von Sortieralgorithmen
  • KAPITEL ANWENDUNGEN LAUFZEITANALYSE
  • z k k z k k k k
  • z k k z k k
  • m E Zi m i
  • KAPITEL ANWENDUNGEN LAUFZEITANALYSE m
  • i i m i i i
  • ein so ergibt sich bestenfalls die Laufzeit
  • m i m m n log n i
  • m i m m m i
  • QUICKSORT und n n
  • n qn n n
  • Mit q und dementsprechend b folgt bn
  • und hiermit i i
  • qn n bn n n
  • Die verbleibende Summe ist wohlbekannt es gilt
  • lnn C i
  • C ist die sogenannte EulerKonstante
  • Das schwache Gesetz der großen Zahl
  • bzw quivalenterweise a
  • DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHL
  • pq P n p n n n
  • n k nk p q k
  • E Sn n p npq
  • Var Sn n p npq
  • Var Sn npq
  • pk q nk q p
  • n pk q nk k n k
  • nk O n O k O nk
  • DIE MOIVRELAPLACENAHERUNG n np k n k k
  • n np y nq y npq O
  • y y p O y n
  • y y q O y n
  • y y q n p q
  • Insgesamt folgt beachte n k
  • y e npq npq
  • y e npq O npq n
  • kn p e npq npq
  • xkb b O n
  • n p q b n pb
  • n p q also a ex
  • b n p npq a n p npq
  • b b b f r b u
  • signb b signa a
  • mit der Umkehrfunktion
  • nun die realistischeren kleineren Approximationen n S pq
  • DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ
  • Der Zentrale Grenzwertsatz
  • i i n n
  • b n n a n n
  • die Substitution x r
  • durch so ergibt sich n
  • folgt durch die Dreiecksungleichung

Vorschau

W. Oevel

Einfuhrung in die Stochastik ¨

Veranstaltungsnr: 171050

Skript zur Vorlesung, Universit¨t Paderborn, Sommersemester 2007 a

Homepage: http://math-www.uni-paderborn.de/ walter −→ Lehrveranstaltungen SS 07

V3 ¨ U2

Mo Mi Mo Di

10.15 − 11.00 11.00 − 12.30 7.30 − 9.00 11.00 − 12.30

D1 D1 D1.328 D1.320 Gruppe 1 (Peter Brune) Gruppe 2 (Peter Brune)

Inhalt

1 Grundstrukturen 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grundlegende Definitionen (Modelle) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Kombinatorische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Diskrete (nicht-kombinatorische) Modelle . . . . . . . . . 1.2.3 Kontinuierliche Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Folgerungen, totale W’keit“ und der Satz von Bayes“ . ” ” 1.4 Irrfahrten auf Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Wahrscheinlichkeitsb¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.4.2 Allgemeinere Wahrscheinlichkeitsgraphen . . . . . . . . . 1.5 Unabh¨ngigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Modellierung unabh¨ngiger Experimente: Produktmodelle a 1.6 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ufallsvariablen 2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Das Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . 2.3 Erwartungswert und Streuung . . . . . . 2.4 Einige Standardverteilungen . . . . . . . 2.4.1 Die Binomial-Verteilung . . . . . 2.4.2 Die Poisson-Verteilung . . . . . . 2.4.3 Die geometrische Verteilung . . . 2.4.4 Die hypergeometrische Verteilung 2.4.5 Die Exponentialverteilung . . . . 2.4.6 Die Gleichverteilung . . . . . . . 2.4.7 Die Normal-(Gauß-)Verteilung . 2.5 Unabh¨ngigkeit von ufallsvariablen . . a 2.5.1 Definition und Folgerungen . . . 1 1 3 5 10 11 13 13 16 20 20 25 30 30 33 37 43 44 55 58 71 71 72 75 75 76 77 78 80 80

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