Einführung in die Stochastik

Titel: Einführung in die Stochastik
Organisation: UNI PADERBORN
Seitenzahl: 127

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Inhalt

Einfuhrung in die Stochastik
Skript zur Vorlesung Universitt Paderborn Sommersemester a
INHALT Kovarianz Bedingte Erwartungswerte
iv Ubungsaufgaben mit Lsungen o
GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN MODELLE
Grundlegende Denitionen Modelle
direkt dem folgenden Hilfssatz zu entnehmen
S s N S ns N n
Die Wkeit dass ich frh aufstehen u
Diskrete nichtkombinatorische Modelle
r dr ec r ec r
P E Ui P Ui
Beweis P E P E
P E Ui P Ui
P E Uj P Uj
P Ui P E Ui
Irrfahrten auf Graphen
E E E Eine wichtige Tatsache ist
IRRFAHRTEN AUF GRAPHEN
f d fd x f d
d d s C d
h t rr rr j c
f q v f x
P sv rt P svk rt j r
P s vi P vi
P s vi PPfad
Unabhngigkeit von Ereignissen a
Denition Technische Denition Unabhngigkeit von Ereignisfamilien a
UNABHANGIGKEIT VON EREIGNISSEN
Modellierung unabhngiger Experimente Produktmoa delle
P Pj j Pn n
Pn n Pi Ei
Nach Bayes gilt P U Ek
n k nk pk qnk p q
P E Ui P Ui
P U P U P U
gefhrt Damit gilt u
zu betrachen Wir betrachten die Menge aller
e d e de e d c
r mit einem Wkeitsmaß zu versehen
t dt et t dt et
t t t t t t t t
e e e e e e
lim F r lim F r
P Ei lim F n
rn r
Mit der Additivitt folgt hieraus a
F rn F r in
r r
Mit der Additivitt folgt hieraus a
F ri F ri
DEFINITIONEN F T F r
Sprunghhe P r o
f ri F ri F ri
f r dF r f r dF r
Falls F stetig dierenzierbar ist
R E r r r r b r
f ri F i ri ri
f ri Mit n ri
Durch Umsummation ergibt sich die Darstellung
f rn F rn f r F r
f ri f ri F ri
Erwartungswert und Streuung
ERWARTUNGSWERT UND STREUUNG
b Ist kontinuierlich mit der Dichte r
F r so gilt mit Satz
r dr lim r R
r dr lim ln R r R
f r P r E f
dF r dr dr
f r dF r E f
Beispiel Betrachte einen Zufallszahlengenerator der GleitpunktZahlen
mit der Dichte
fr r u fr r u
Die Verteilungsfunktion ist
Der Erwartungswert ist
ri F ri F ri
Dies ist eine StieltjesSumme fr u
also gilt mit n
xi yi xi yj zk
P xi yj zk
xi yj P xi yj zk
xi P xi yj zk xi
yj P xi yj zk yj
P xi yj zk xi P xi
yj P Y yj E E Y
P E QED
n k nk p q k
d p qn p n p qn dp
E E E
k k P k
k k pk q nk p
Beweis Mit den Forderungen n gungen n nk
EINIGE STANDARDVERTEILUNGEN Es gilt die StirlingFormel
n nk lnp e e n k nk
ek k ln n en plnp ek lnp
Beachte ln die Approximationen k
fr Fr kn u u
Die geometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung
s minn S
F t P t
e r dr e e
UC F r F streng monoton
Eine weitere interessante Funktion ist r
Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a
Denition und Folgerungen
P r n rn
r r r r r r r r
KAPITEL ZUFALLSVARIABLEN b F n r rn
P c ergibt sich aus
UNABHANGIGKEIT VON ZUFALLSVARIABLEN
A r n rn
Zufall regiert die Welt
P P P P
f r rn dF n r rn
xnin P n xnin
i i j i i
E i j E i E j
f r dF r A
f r P r A
E f Ui P Ui
Beweis Die Formel von der totalen Wkeit liefert
F r Ui P Ui
Anwendungen Laufzeitanalyse von Sortieralgorithmen
KAPITEL ANWENDUNGEN LAUFZEITANALYSE
z k k z k k k k
z k k z k k
m E Zi m i
KAPITEL ANWENDUNGEN LAUFZEITANALYSE m
i i m i i i
ein so ergibt sich bestenfalls die Laufzeit
m i m m n log n i
m i m m m i
QUICKSORT und n n
n qn n n
Mit q und dementsprechend b folgt bn
und hiermit i i
qn n bn n n
Die verbleibende Summe ist wohlbekannt es gilt
lnn C i
C ist die sogenannte EulerKonstante
Das schwache Gesetz der großen Zahl
bzw quivalenterweise a
DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHL
pq P n p n n n
n k nk p q k
E Sn n p npq
Var Sn n p npq
Var Sn npq
pk q nk q p
n pk q nk k n k
nk O n O k O nk
DIE MOIVRELAPLACENAHERUNG n np k n k k
n np y nq y npq O
y y p O y n
y y q O y n
y y q n p q
Insgesamt folgt beachte n k
y e npq npq
y e npq O npq n
kn p e npq npq
xkb b O n
n p q b n pb
n p q also a ex
b n p npq a n p npq
b b b f r b u
signb b signa a
mit der Umkehrfunktion
nun die realistischeren kleineren Approximationen n S pq
DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ
Der Zentrale Grenzwertsatz
i i n n
b n n a n n
die Substitution x r
durch so ergibt sich n
folgt durch die Dreiecksungleichung

Vorschau

W. Oevel

Einfuhrung in die Stochastik ¨

Veranstaltungsnr: 171050

Skript zur Vorlesung, Universit¨t Paderborn, Sommersemester 2007 a

Homepage: http://math-www.uni-paderborn.de/ walter −→ Lehrveranstaltungen SS 07

V3 ¨ U2

Mo Mi Mo Di

10.15 − 11.00 11.00 − 12.30 7.30 − 9.00 11.00 − 12.30

D1 D1 D1.328 D1.320 Gruppe 1 (Peter Brune) Gruppe 2 (Peter Brune)

Inhalt

1 Grundstrukturen 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grundlegende Deﬁnitionen (Modelle) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Kombinatorische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Diskrete (nicht-kombinatorische) Modelle . . . . . . . . . 1.2.3 Kontinuierliche Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Folgerungen, totale W’keit“ und der Satz von Bayes“ . ” ” 1.4 Irrfahrten auf Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Wahrscheinlichkeitsb¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.4.2 Allgemeinere Wahrscheinlichkeitsgraphen . . . . . . . . . 1.5 Unabh¨ngigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.5.1 Deﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Modellierung unabh¨ngiger Experimente: Produktmodelle a 1.6 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ufallsvariablen 2.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Das Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . 2.3 Erwartungswert und Streuung . . . . . . 2.4 Einige Standardverteilungen . . . . . . . 2.4.1 Die Binomial-Verteilung . . . . . 2.4.2 Die Poisson-Verteilung . . . . . . 2.4.3 Die geometrische Verteilung . . . 2.4.4 Die hypergeometrische Verteilung 2.4.5 Die Exponentialverteilung . . . . 2.4.6 Die Gleichverteilung . . . . . . . 2.4.7 Die Normal-(Gauß-)Verteilung . 2.5 Unabh¨ngigkeit von ufallsvariablen . . a 2.5.1 Deﬁnition und Folgerungen . . . 1 1 3 5 10 11 13 13 16 20 20 25 30 30 33 37 43 44 55 58 71 71 72 75 75 76 77 78 80 80