- Titel: Analysis III
- Organisation: UNI SIEGEN
- Seitenzahl: 19
Inhalt
- Dr Theo Overhagen Fachbereich Mathematik Universitt Siegen a
- Dierentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen Anwendungen
- Rechenregeln fur dierenzierbare Funktionen
- gx fx x f x gx x
- Dierentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen Anwendungen
- y p r r sin
- Der Satz von Taylor
- j n t j n
- hk hkj fk kj x th
- Mit ergibt sich
- hk hkj fk kj x
- hk hkn fk kn x t h
- hk hkj fk kj x
- hk hkn fk kn x t h
- hj hk fj k x h h
- gx h gx g x h
- g xx h xdx
- Fx x y Fy x y
- y x x Fy xy e
- y e x tan y x x x
- im Punkt P die Steigung
- Fx Fy e
- Lokale Extrema reellwertiger Funktionen
- QA x IRp IR
- QA x xT A x
- f r alle x u
- fx xy f xx y
- fx x y f xx
- Extrema unter Nebenbedingungen
- j grad gj x
- werden so daß
- k minimal und die Winkelsumme gleich ist Mit
Vorschau
Analysis III
Dr. Theo Overhagen Fachbereich 6 Mathematik Universit¨t Siegen a 2008
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Einleitung
Die Vorlesung Analysis III schließt an die Vorlesungen Analysis I,II (Prof. Dr. Nickel) in den Studienjahren 2006/07 bzw. 2007/08 an. Sie setzt daher die dort behandelten Inhalte voraus. Insbesondere sind das • die Differential- und Integralrechnung (Regelintegral) von Funktionen einer Variablen, • ahlen- und Funktionenfolgen und -Reihen, • die Topologie des IRn (Normen und Abst¨nde, offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, a stetige Funktionen), • Kurven im IRn und ihre Bogenl¨nge, a • Banachscher Fixpunktsatz, • partielle Ableitung und totale Ableitung von Funktionen mehrerer Variabler, Das Skript orientiert sich in Teilen an H.Heuser: Lehrbuch der Analysis , Teil 2, Teubner Verlag. bzw. E.Freitag: Vorlesungen uber Analysis, Vorlesungsskript Uni Heidelberg ¨ Als erg¨nzende Literatur kann aber jedes der un¨ bersichtlich vielen Analysis-Lehrb¨ cher gew¨hlt wera u u a den.
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1 Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen – Anwendungen
1.1 Rechenregeln fur differenzierbare Funktionen ¨
Wie bei der Stetigkeit kann man auch die Rechenregeln f¨ r Differenzierbarkeit auf Funktionen mehrerer u Variabler ubertragen: ¨ Satz 1.1.1 (Linearit¨t) Seien γ ∈ IR, G1 ⊂ IRn , G2 ⊂ IRm Gebiete, x0 ∈ G1 , a f = (f1 , . . . , fm )T , g = (g1 , . . . , gm )T : G1 → G2 in x0 ∈ G1 differenzierbar. Dann gilt: (f + g)x (x0 ) = fx (x0 ) + gx (x0 ), Speziell f¨ r m = 1 erh¨lt man u a grad (f + g)(x0 ) = grad f (x0 ) + grad g(x0 ), grad (γ · f )(x0 ) = γ · grad f (x0 ). (γ · f )x (x0 ) = γ · fx (x0 ).
f + g und γ · f sind in x0 differenzierbar mit
Satz 1.1.2 (Produktregel) Seien G1 ⊂ IRn , G2 ⊂ IRm Gebiete, x0 ∈ G1 , f = (f1 , . . . , fm )T , g = (g1 , . . . , gm )T : G1 → G2 in x0 ∈ G1 differenzierbar. Dann gilt:
m
f · g (x) :=
T
k=1
fk (x) · gk (x) ist in x0 differenzierbar mit fT · g
x
(x0 ) = g T (x0 ) · fx (x0 ) + f T (x0 ) · gx (x0 ).
Speziell f¨ r m = 1 erh¨lt man u a grad (f · g)(x0 ) = g(x0 ) · grad f (x0 ) + f (x0 ) · grad g(x0 ).
Division durch Vektoren ist nicht m¨glich, d.h. eine Quotientenregel ist nur f¨ r reellwertige Funktionen o u sinnvoll: Satz 1.1.3 (Quotientenregel) Seien G ⊂ IRn ein Gebiet, x0 ∈ G, f = (f1 , . . . , fm ), g = (g1 , . . . , gm ) : G → IR in x0 ∈ G differenzierbar. Dann gilt: f F¨ r g(x0 ) = 0 ist u in x0 differenzierbar mit g f g (x0 ) =