Grundlagen der Stochastik

• Titel: Grundlagen der Stochastik
• Organisation: UNI GOETTINGEN
• Seitenzahl: 168

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Inhalt

• Grundlagen der Stochastik
• Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse Verzweigungsprozesse Modellbildung Motivation Aussterbewahrscheinlichkeit
• A Tabelle der Standardnormalverteilung
• rt t log t
• und ist die Verteilungsfunktion der StandardNormalverteilung dh
• Relative Hugkeiten a
• j n j A n
• Der Beweis dieser Aussage ist analog zu Hilfssatz
• Monotonie Boolesche Ungleichung
• Stetigkeit von unten Ai lim P Ai
• Stetigkeit von oben Ai lim P Ai
• iN iN A A A R
• was die Behauptung zeigt
• Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsrume und funktionen a
• Induktionsvoraussetzung IV Gelte
• n B A An
• P An P Sk P An P
• P Ai Aik An P Ai Aik
• P Ai Aik An
• Es folgt die Behauptung Die BonferroniUngleichungen
• Bk Ak Dann gilt
• auch P Bk P Ak P
• Damit folgt dann
• was die Behauptung zeigt Mit den Bezeichnungen Sk
• Ai Aim Aj
• Wir wollen Gleichung auf den Term P
• P Ai Aim Aj
• Ai Aim Aj Ai Aim Ak
• Ai Aim Aj Ak
• Ai Aim Aj P
• Fr gerades m n gilt u P
• Beweis Es gilt
• Das zeigt die Behauptung
• des Schfers a
• nk n k k k n k
• n k nk x y k
• Der Grundraum ist also
• Binomial und Hypergeometrische Verteilung
• Ziehen ohne Zur cklegen Hypergeometrische Verteilung u
• Die Kugeln R seien rot Hier ist
• Teilmengen der Kar
• u Stimmen fr B
•  Kombinatorik A A A
• b ab a b b ab
• a b ab a b a b
•  Unabhngigkeit bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstuge Experimente a
• Unabhngigkeit bedingte Wahrscheinlichkeiten und a mehrstuge Experimente
• Unabhngigkeit bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstuge Experimente a
• Unabhngigkeit von A Ai Aik a
• P A A Wegen
• mit der Denition
• Das zeigt die Behauptung Beispiel
• P Ai B P B
• falls B falls B
• P Bi P A Bi
• Beweis Mit der Mulitplikationsformel gilt
• Bi Bj f r ij u
• P A Bi P A Bi P Bi
• was die Aussage zeigt
• Hier folgt unter Benutzung von P Bk A
• P AB P B P ABi P Bi
• Fach A Fach B Summe
• die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten
• Bemerkung zu bedingten Wahrscheinlichkeiten in mehrstugen Modellen
• Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt
• P A Bi P Bi
• P A Bk P Bk
• Als Vektor gilt also
• P Bk Ak Das ist die sogenannte
• aposterioriVerteilung auf den Urnennummern zur aprioriVerteilung
• ProduktExperimente und spezielle Verteilungen
• wobei die Produktverteilung P durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
• P a Pn an
• Bemerkung Dann gilt P A
• Beweis Es ist P A
• P A P Ak i i
• Nach dem Satz sind dann ten
• unabhngige Experimente mit den vorgegebenen Wahrscheinlichkeia
• Mit Produktexperimenten zusammenhngende Verteilungen a
• fr jedes a an Ak gilt u
• P Ak kr die auf k kr
• Pi Pk p
• pk Pk Ak p
• kr r p pk k
• kr k pr p k r r
• Diese Verteilung nennt man auch die negative Binomialverteilung
• A i A i
• P A i P A i
• falls x falls x
• Insbesondere gilt also
• c c c c c c
• c c c c c c c
• P x x
• Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a
• einfach das Produkt der Verteilungen also
• P x n xn
• n unabhngig a
• i unabhngig a
• P i P i
• Rn n
• eine Zufallsvariable so ist g gegeben durch i
• trivial trivial k k
• P m g y
• P a m a
• ag y Unabhngigkeit Lemma a
• a an n n ai k i
• P a n an
• P a P n an pk p
• Damit folgt schon die Behauptung
• Eigenschaften der Possionverteilung
• lim P n k poi k
• Kenngrßen von Verteilungen o
• Kenngroßen von Verteilungen
• und in diesem Falle
• Beweis Wir berechnen
• P x P P
• P x P x
• x P x falls
• N N N N
•  Kenngrßen von Verteilungen o
• n pk pnk k
• k k k k k k
• Beweis Anwenden von Hilfssatz liefert E
• P n p p
• womit die Behauptung schon gezeigt ist
• Eigenschaften des Erwartungswertes
• Dann ist Eg
• Damit erhalten wir Eg EY
• y P Y y y P x
• y P x gx P x
• Beispiel Sei gx xk Dann heißt E k
• P a E
• Zuletzt berechnet man E
• E E E n n p
• x E P x
• E E E
• i Zi i E i n
• E Zi Zj CoV i j
• k P k P k
• k P k P k
• P P P
• P P P
• Varianzen einiger diskreter Verteilungen
• V i Beispiel
• V i np p
• Das ergibt zusammen
• gilt Um die Varianz
• Es folgt die Behauptung
• p p p p p
• Wahrscheinlichkeitsungleichungen und das SGGZ
• Das schwache Gesetz großer Zahlen SGGZ
• P x x P x a
• womit die Behauptung gezeigt ist
•  Wahrscheinlichkeitsungleichungen und das SGGZ
• p R womit die Behauptung folgt
• Damit ist auch
• Nach Satz ist
• km beliebig n
• n k nk p p k
• n k nk p q k
• exp n p exp q q exp p
• besser gehts nicht
•  Faltung bedingte Verteilungen und Korrelation
• Faltung bedingte Verteilungen und Korrelation
• P x P n xn
• x n xn
• P x P Y y
• nm k nmk p p k
• unabhngig a
• Man berechnet p Y jk
• Y unabhngig a
• exp exp kj j
• k j kj j kj j k j
• Der bedingte Erwartungswert
• E Y x Beispiel
• hx yP x Y y
• f x p x E Y x
• E E Y E E
• Anwendung der iterierten Erwartung
• Dann gilt E SN E N E
• P SN j N n P N n
• i j N n P N n
• Nach Dem Blockungslemma Satz sind auch
• i und N unabhngig das liefert a
• E EY E EY
• und damit haben wir E EY
• EY E Y E E Y
• und es folgt die Behauptung
•  Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse
• Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse
• k k k j pk tkj
• k k t exp k
• tk exp exp t k
• Diese Funktion sieht fr wie folgt aus u
• meint entweder R
• n k p pnk tk k
• Diese Funktion sieht fr n und p u
• wie folgt aus
• lim g t E
• k k k j pk
• Eh E j
• exp expt exp expt
• E lim g exp exp und
• tk P k g t
• Beweis Per Denition ist g Y t
• P Y k tk
• was die Behauptung schon zeigt
• P N n Sn k
• P N n Sn k
• k n absolute Konvergenz
• P N n P Sn k tk
• gleich verteilt
• lim gN g t
• lim g t gN g t t
• lim g t lim gN g t
• Da lim gN t EN existiert folgt t
• lim g t lim gN t
• E EN was die Behauptung zeigt
• und induktiv gZn g g
• Lemma Die Zahl q lim g g
• lim g g q
• erhlt man die Behauptung a
• Abbildung Die Funktion gt exp exp t
•  Grenzwertsatz von de MoivreLaplace
• Grenzwertsatz von de MoivreLaplace
• Normalapproximation der Binomialverteilung
• Sn ESn V Sn
• Die Werte die die Zufallsvariable Sn annimmt sind
• x dx bzw einseitig lim P
• Mit der Stammfunktion
• kann man schreiben
• Abbildung Die Dichte der Standardnormalverteilung t
• Abbildung Die angegebene Flche entspricht a
• Oder direkt als Funktion
• Abbildung Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
• Sn np i und Sn npq i
• Anwendung I Normalapproximation der Binomialverteilung
• Fehlerabschtzungen nach BerryEsseen a
• und i durch i
• keine große Erkenntnis
• Anwendung II Bestimmung eines Stichprobenumfangs
• Menschen zu befragen
• Allgemeine Modelle und stetige Verteilungen
• Allgemeine Wahrscheinlichkeitsrume und Zufallsvariablen a
•  Allgemeine Modelle und stetige Verteilungen
• auf Diese zerlegt in Aquivalenzklassen
• x y x y Q
• WVerteilungen auf R reelle Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen
• lim F x und lim F x und
• Beispiel Der folgende Graph deniert eine Verteilungsfunktion
• Abbildung Beispiel einer Verteilungsfunktion
• und daher folgt
• lim F xn lim P xn
• lim F x gilt ist klar
• Zufallsvariablen mit stetiger Verteilung
• falls t falls t
• Die CauchyVerteilung f t t
• Betrachte die Dichte
• Diese hat den Graphen
• Zunchst betrachten wir einige Spezialflle a a
• Berechnung und Transformation von Dichten
• ci b aci bci a
• F b F a F ci F ci
• da F stetig ist Das zeigt
• F ci F ci F F
• ist der Faktor
• J ist eine bijektive Abbildung sd u
• f g y g y dy
• Erwartungswert und Varianz
• In diesem Fall deniert man E
• s r sr sr
• x dx lim ln x x R
• Daher hat keinen Erwartungswert
• exp t dt exp t
• ax b f x dx
• falls existent Beispiel
• gilt Nach Bemerkung
• s r s r s r
• Mehrdimensionale stetige Verteilungen
• R mit f und
• f x xn dxn dx
• die Dichte zu und f x
• die Dichte zu
• f x x dx dx
• x x f x x dx x
• x f x x dx x
• f x x dx dx
• Damit ist die Behauptung gezeigt
• f x fn xn dxn dx
• Damit ist aber wegen
• Mit Satz folgt P A
• exp x y dy dx
• exp y dy dx
• exp x exp x dx
• gx y f x y dx dy
• x y f x fY y dx dy
• f xf z x dx
• f xfY y dy dx
• f xfY z x dz dx
• fx xfy z x dx dz
• f x fY z x dx
• Nun unterscheiden wir vier Flle a
• Wir setzen nun
• Dann ist w z
• z xz x z z
• ist folgt dx
• Damit ist der Satz bewiesen
• Die mehrdimensionale Normalverteilung
• falls i j falls i j
• aik Zk E Zk
• ajl Zl E Zl
• aik CoV Zk Zl ajl
• aik CoV Zk Zl aT lj
• A z AT Beispiel
• und haben dann A AT V
• zi z zn z zn ist gilt
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der zentrale Grenzwertsatz
• Die Jensensche Ungleichung
• Der zentrale Grenzwertsatz ZGWS
• Sn E Sn V Sn
•  Nun substituiert man t x womit dt
• dx ist und dx x
• und entsprechend auch
• E Zi V Zi E Zi
• V i E i nV i n
• i E i nV i
• und mit Hilfssatz auch n
• Wir zeigen nun dass
• fr alle x R gilt u
• unabhngig dh es folgt mit a
• Z E v Sn Zn
• Genauso folgt mit h Yn dass
• Z E v Sn Yn
• Subtrahieren der Gleichungen liefert
• M E Zn E Yn
• haben wollen betrachten wir
• M E Zk E Yk
• erfllt also genau die Behauptung u
• mit der Monotonie des Erwartungswerts
• Da wie schon bemerkt laut Faltungssatz Satz
• Außerdem ist i E i da E i
• E E Daher ist
•  MarkovKetten mit endlichem Zustandsraum
• MarkovKetten mit endlichem Zustandsraum
• Steuerung der Sprunge Ubergangsmatrizen und graphen
• Das soll etwa bedeuten dass
• P morgen bewlkt heute Sonne p o
• Beispiel Lieblingsbeispiel des Dozenten Betrachte die Ubergangsmatrix P
• k ebenfalls ein Weg mit
• so sieht man am zugehrigen Graphen o
• P i k P k j
• pii pin j
• ausreicht um die Irreduzibilitt mit dem Satz a
• Wir werden meist nur irreduzible Ubergangsmatrizen P betrachten
• j mit w r und j
• i mit w r Insbesondere
• Wege der Lnge und weshalb d a
• P i k Pn k j
• Drei elementare Wahrscheinlichkeiten von MarkovKetten
• Daher folgt induktiv
• P nm im nm im n i
• P i i P n i
• im i S Bemerkung
• Beispiel Ist P
• die Ubergangsmatrix aus Beispiel so berechnet man P
• Daher ist zum Beispiel P n n P
• Invariante Maße und Konvergenzstze a
• j fr alle j S u
• Beweis Wir unterteilen den Beweis in zwei Schritte
• PnL i j mj
• PnL i j Mj
• PL i k PL i k
• Damit gilt dann Mj
• PnL i j PnL i j
• Pn i k PL k j
• Da wir schon wissen dass mj Aussage
• monoton wchst und Mj a
• monoton fllt folgt so die behauptete a
• fr jedes j S u
• Im Grenzbergang n u
• ist Pn k j j
• j dh es folgt k j j
• n j Pn j k
• fr jede beliebige Startverteilung u
• max P n j d j
• Ruckkehrzeiten und starkes Gesetz
• entspricht ist ihr Wert
• P n k Ti n
• P n j n k Ti n
• P n j Ti n
• j P j Ti j
• Beachte nun noch dass i
• P n i Ti n
• gegen die Wahr
• Konvergenz dieser Art nennt man fast sichere Konvergenz
• Irrfahrt auf ungerichtetem Graphen
• di i S di di
• Denition Wir setzen D
• Beweis Man berechnet P j
• iP i j di D di
• Schtzer und statistische Tests a
• Sei eine Zufallsvariable oder ein Zufallsvektor
•  Schtzer und statistische Tests a
• E i i n i
• n E E n n
• sprechen wir von einem hochsignikanten Ergebnis
• Der einseitige Gaußtest
• Damit haben wir P z P
• A Tabelle der Standardnormalverteilung
• Tabelle der Standardnormalverteilung
• Kenngroßen der wichtigsten Verteilungen
• p p n p p
• R R n N NN N n N
• Hypergeometrisch Poisson Geometrisch NegativBinomial
• exp k p p
• B Kenngrßen der wichtigsten Verteilungen o
• B Kenngrßen der wichtigsten Verteilungen o
• Wahrscheinlichkeitsdichte f t f t
• Exponentialverteilung Gammaverteilung ChiQuadratVerteilung Paretoverteilung Cauchyverteilung

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