Lineare Algebra

Titel: Lineare Algebra
Organisation: UNI MUENCHEN
Seitenzahl: 49

Inhalt

Lineare Algebra I
n n n EZU EZU
Dann gilt x LsA b o
aij xj bi i l k
aij xj bi i l
alj akj xj bl bk
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
aij xj fr beliebige u
aij ij i j r und deshalb
aij xj i r
Folglich LsA b x o
aij xj bi i r x xi bi
aijk xjk xji
aij xj bi i r x xji bi
aijk xjk i r
n im jn im kp
Kommutativgesetz neutrales Element inverses Element
ai bk ain bnk
c folgt aus b
aij aij bjk
aij bjk ABik A Bik AB A Bik
Em Aij ABik
n j aij bkj p n
aij BCjl ABCil
xAx xAx xAx xAx
a ist nicht Element von M
a ungleich b a verschieden von b
tx x M y x M y tx
IV a Gi G Gi G G Gi
x x e x x
und aij ij aij
f I V f f
Konvention Fr n n sei u
UV v w U v w U
UV v U K v U
U ein Unterraum von V
Denition Sei V ein KVektorraum und M V
i vi k v vk M k K
Oenbar ist spanv vk
i vi k K
Ui heißt Summe der Unterrume Ui iI a
Im Fall I n schreibt man
Ui oder U Un
ui u U un Un
Oenbar ist M span
i vi m
v vm linear abhngig m K a
i vi i mi
i ik m i m m
i vi und k m mit k vk
i vi wobei k
i vi v v
vi folgt aus der Vorauss m
aj Wir haben also
v V n v
Ist v vn eine Basis von V w
Ui wenn gilt
EZU v v v v
DR R f f x x R
Fr R sei A u
sin cos cos sin R auf gilt
Fr A u fA x x
i vi m K
x f W f x W
n i n i n i n i
i vi wir denieren f x
i vi gilt f x y f
i f vi f
i vi n
n ik n ik n ik
es gibt k mit Lemma
Def fg linear Def fg linear
f x gx f gx
aij wi fr j n u
Lb m i cij wi
cij und somit cij
c Korollar zu
f HomV W mit f vj
ImfA K n dim ImfA n
r j j j j
b f surjektiv f injektiv
Beweis Fr V gilt u
i vi vj jvj j
Daraus folgt mit La die Behauptung Lemma
f y Faserung
a U ist UVR der Dimension dimV
Av vk v spanv v vk v
i vi k K
aM a Sn M a aM IV aM
n n n n
n i n i Sn
signa a ann
ai anin dei ein
a ann de en a ann de en
a ann sign de en
signa a ann Leibnizsche Formel
signa akk bkk ann
signa akk ann
signa bkk ann
signa a ann
signa a ann signa a ann
sign a a an n signa a ann
Die Eindeutigkeit folgt aus c

Vorschau

Lineare Algebra I

Wilfried Buchholz Skriptum einer 4-std. Vorlesung im Wintersemester 2009/10 Mathematisches Institut der Universit¨t M¨nchen a u

§1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Einige Abk¨rzungen. u N = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {−n : n ∈ N} x Q = { : x, y ∈ & y = 0} y R N1 := {n ∈ N : n = 0}. Die Buchstaben i, j, k, l, m, n, p bezeichnen im folgenden stets nat¨rliche ahlen. u

n

(Menge der nat¨rlichen ahlen) u (Menge der ganzen ahlen) (Menge der rationalen ahlen) (Menge der reellen ahlen)

ai := am + am+1 + . . . + an (falls m ≤ n)

i=m

Deﬁnitionen. Seien m, n = 0. Ein rechteckiges Schema reeller ahlen aij ∈ R a11  a21 A= .  . .  am1 heißt m×n-Matrix mit Koeﬃzienten aij in R. Hierf¨r schreibt man auch A = aij u

i=1,…,m j=1,…,n

a12 a22 . . . am2

a13 a23 . . . am3

… … …

 a1n a2n  .  .  . amn

= (aij )i,j = (aij ).

a

F¨r i ∈ {1, …, m} und j ∈ {1, …, n} heißt u a 1j  a2j . . . ain ) die i-te eile von A und  .  . .    die j-te Spalte von A. 

(ai1 ai2

m×n

R

amj := {A : A ist m×n-Matrix mit Koeﬃzienten in R}.

R1×1 wird mit R identiﬁziert. Rm×1 (bzw. R1×n ) heißt m-dimensionaler Spaltenraum (bzw. n-dimensionaler eilenraum). Die Elemente von Rm×1 ( R1×n ) heißen Spaltenvektoren der L¨nge m ( eilenvektoren der L¨nge n). a a Bemerkung. Die Spalten (bzw. eilen) einer m×n-Matrix sind Elemente von Rm×1 (bzw. R1×n ). Abk¨rzung. Rn := Rn×1 (n-dimensionaler Spaltenraum) u Schreibweise. Sind a1 , . . . , an ∈ Rm = Rm×1 , so bezeichnet a1 . . . an die m×n-Matrix mit den Spalten a1 , . . . , an .   b1 . Sind b1 , . . . , bm ∈ R1×n , so bezeichnet  .  die m×n-Matrix mit den eilen b1 , . . . , bm . . bm Eine Matrix, deren s¨mtliche Koeﬃzienten gleich 0 sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet. a

1

   a11 . . . a1n x1 . . .  m×n . wischen der Matrix A =  . ∈R und der Spalte x =  .  ∈ Rn . . . xn am1 . . . amn erkl¨rt man ein Produkt, das eine Spalte der L¨nge m ergibt: a a    n a x  a11 x1 + . . . + a1n xn j=1 1j j  . . . = . . A · x :=  .   ∈ Rm . . . . n am1 x1 + . . . + amn xm j=1 amj xj  Das lineare Gleichungssystem a11 x1 a21 x1 . . . am1 x1 + … + + … + a1n xn a2n xn = = b1 b2 . . . 

(∗)

+ . . . + amn xn

= bm

 b1 .  kann man dann in der Form A · x = b mit b :=  . schreiben. . bm   a11 . . . a1n b1 . . .  . . A heißt die Koeﬃzientenmatrix, und (A b) :=  . die erweiterte Koeﬃzientenmatrix . . . am1 . . . amn bm des linearen Gleichungssystems (∗). L¨s(A; b) := {x ∈ Rn : A · x = b} heißt die L¨sungsmenge oder der L¨sungsraum von (∗). o o o Deﬁnition. Unter elementaren eilenumformungen einer Matrix A versteht man folgende Umformungen von A: (I) (II) Vertauschen zweier eilen. Addition des λ-fachen der j-ten eile zur i-ten eile, wobei λ ∈ R und i = j.

(III) Multiplikation der i-ten eile mit einem λ ∈ R {0}. Abk¨rzungen: u A −→ A A −→ A

E U

: ⇐⇒ A entsteht aus A durch eine endliche Folge elementarer eilenumformungen. : ⇐⇒ A entsteht aus A durch elementare eilenumformungen vom Typ .

E U

Lemma 1.1. Aus A, A ∈ Rm×n , b, b ∈ Rm und (A b) −→ (A b ) folgt L¨s(A; b) = L¨s(A ; b ). o o Beweis: Oﬀenbar reicht es, die Inklusion L¨s(A; b) ⊆ L¨s(A ; b ) zu zeigen, denn mit (A b) −→ (A b ) gilt auch o o (A b ) −→ (A b). F¨r Umformungen der Typen (I), (III) ist die Behauptung trivial. u Sei jetzt (A b ) aus (A b) durch Addition des λ-fachen der k-ten eile zur l-ten eile entstanden.

n n n E U E U

Dann gilt: x ∈ L¨s(A; b) ⇒ o

n j=1 n

aij xj = bi (i = l, k) &

j=1

alj xj = bl &

j=1 n j=1

akj xj = bk ⇒

⇒

j=1

aij xj = bi (i = l) &

j=1

(alj + λakj )xj = bl + λbk ⇒

aij xj = bi (i = 1, …, n) ⇒ x ∈ L¨s(A; b). o

Beispiel x1 + 2×2 + 4×3 = 1 2×1 + 3×2 + 5×3 = 0 ⇐⇒ 3×1 + 4×2 + 8×3 = 5

x1 + 2×2 + 4×3 = 1 − x2 − 3×3 = −2 ⇐⇒ 3×1 + 4×2 + 8×3 = 5 2

x1 + 2×2 + 4×3 = 1 − x2 − 3×3 = −2 ⇐⇒ − 2×2 − 4×3 = 2