Mathematik für Chemiker

24. June 2011 Chemie
  • Titel: Mathematik für Chemiker
  • Autor: Bernd Hartke
  • Organisation: UNI KIEL
  • Seitenzahl: 150

Skript herunterladen (PDF)

Inhalt

  • Mathematik fur Chemiker I
  • Sprechstunde nach Vereinbarung jederzeit
  • Grundbegrie Zahlen Determinanten Rechentechniken
  • Geometrische Anwendungen Geradengleichungen Ebenengleichungen Kugelgleichung Abstandsformeln
  • algebraische Funktionen transzendente Funktionen Funktionenklassen
  • Ableitung von Funktionen
  • Integralrechnung von Funktionen einer Vernderlicher a bestimmtes Integral
  • Gradientenvektor Totales Dierential Richtungsableitung Geometrische Deutungen iv
  • RichtungsNewtonMethoden Extremwerte ohne Nebenbedingungen Extremwerte mit Nebenbedingungen
  • Im z r y x Re
  • Also gilt oensichtlich z z
  • Rechnen mit Summen und Produktzeichen
  • i j fr n m u
  • ak am am an
  • Das Produktzeichen ist analog dem Summenzeichen deniert
  • a a a a b a b
  • Rechnen mit Ungleichungen
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • bzw in Polarkoordinaten
  • z z r r cos i sin
  • Rechnen mit konjugiert komplexen Zahlen
  • z z z Potenzieren
  • z z i Imz
  • n r ein r ei k
  • na a n a na n a
  • Denition Fakultt a n Denition Binomialkoezient
  • binomischer Lehrsatz a bn
  • Vektoren I Grundlagen
  • Rechnen mit Vektoren Teil
  • r r r r r x
  • r r cos r cos r
  • Insbesondere gilt damit fr die kartesischen Einheitsvektoren u
  • y x y y y z k
  • x x y y z z
  • mit dem Spezialfall
  • r r r x y z
  • h n r r F r
  • a r O r r P r r
  • P r r r P P
  • r r r r r
  • z k an z z z n
  • x x x x x bx c
  • x tan x acos x bsin x
  • Per Denition gilt oensichtlicherweise
  • sinx arcsinx yx
  • cosx arccosx yx
  • tanx arctanx yx
  • cotx arccotx yx
  • Die Haupteigenschaft der Exponentialfunktion ea eb eab
  • lnx logx logx logx
  • Parameterdarstellung von Funktionen
  • Dierentialrechnung von Funktionen einer Verndera licher
  • Zahlenfolgen Hufungspunkte Konvergenzkriterien a Grenzwerte bei Funktionen
  • n xn Diese Zahlenwerte xn bilden eine Nullfolge
  • tan x x sin x
  • lim f x lim f x
  • Ermittlung von Grenzwerten und Rechnen mit Grenzwerten
  • f x f x x x
  • f x f x xx x x
  • lim f x f x
  • lim fr x u lim fr x u
  • dgx dgx dx gx dx
  • f ux f ux x x
  • yx Tangente mit Steigung m
  • der an im der die
  • Tangente mit Steigung m
  • Ableitung elementarer Funktionen
  • Ableitung einer Konstante
  • Ableitung von y x
  • x x lim xx x x xx
  • Ableitung von x
  • nx Ableitung von xn
  • dy n xn dx
  • Ableitung des Cosinus
  • lim ln a lim a
  • n nk k f g k
  • gx gx f x f x
  • f xgx f xgx f xgx
  • a f x f x
  • f i x x x i i
  • f i x i x i
  • Beispiele fur Konstruktion und Konvergenzabschtzung a
  • k k x x x k
  • mm m i i x i
  • x x x n n x x n
  • Damit erhalten wir sin x
  • x x xk x k
  • xk x x k
  • Kurvendiskussion numerische Dierentiation
  • yi yxi yi hyi
  • yi yi yi Oh h
  • komplexe Zahlen und Funktionen
  • Numerische Suche nach Nullstellen und Extrema
  • Suche nach Nullstellen
  • Fehler im NewtonVerfahren Divergenz
  • Fehler im NewtonVerfahren Oszillation
  • Suche nach Extremwerten
  • Integralrechnung von Funktionen einer Vernderlicher a
  • y Obersumme Untersumme
  • lim S lim S
  • Im Spezialfall a b ergibt sich daraus
  • f x dx A A
  • Stammfunktion unbestimmtes Integral Hauptstze a
  • f t dt lim
  • Integration elementarer Funktionen
  • Gl sieht in graphischer Veranschaulichung folgendermaßen aus
  • v x v x
  • f g dt f g
  • f g dt f g
  • Integration rationaler Funktionen
  • k t dt t d k
  • t dt arctan const d d d
  • Fall a Fall b
  • Rx dx Rex dx Substitution
  • Substitution x a dx
  • Integration durch Taylorentwicklung des Integranden
  • Formel von Stirling
  • Approximation von n durch bzw
  • Integration komplexer Funktionen
  • Dann denieren wir
  • fr u u fr
  • dx lim ln x x
  • Fr gilt u
  • fr u fr u
  • Integrale mit unbeschrnktem Integrationsintervall a
  • f x dx f x dx
  • dx lim ln x x b
  • dx x lim x b
  • Ableitung von Integralausdrucken
  • f t dt F x F x
  • f t dt F x F x
  • cosx t t dt
  • Laplacetransformation numerische Integration
  • f x dx f b b a a
  • f xi xi fi fi
  • a h x i x i b
  • f f fN fN
  • h f f f f fN fN fN
  • All diese Integrationsvorschriften haben dieselbe allgemeine Form
  • ci f xi FehlerN
  • Dierentialrechnung von Funktionen mehrerer Verna derlicher
  • Grenzwert und Stetigkeit
  • erste partielle Ableitung Dierenzierbarkeit
  • f dy dx y x
  • Richtung von e
  • F y x F x y
  • F y z F z y
  • x y y x x
  • y r y r y
  • j f x y xji y i
  • x x jiy y i Rn x y
  • n f x y xni y i
  • xx xx yy yy
  • x x ni y y i
  • Mehrdimensionale numerische Minimierung
  • und Hessescher Matrix A mit Aij
  • Extremwerte ohne Nebenbedingungen
  • Extremwerte mit Nebenbedingungen

Vorschau

Mathematik fur Chemiker I ¨

(MNF-chem0102, MNF-chem0310) 2. Fassung vom 5. Januar 2009 , mit Erweiterungen/Verbesserungen vom 28. Januar 2010

Prof. Dr. Bernd Hartke Theoretische Chemie Christian-Albrechts-Universitat Kiel ¨ Institut fur Physikalische Chemie ¨ Max-Eyth-Straße 2 Erdgeschoß, Raum 29 Tel.: 0431/880-2753 hartke@phc.uni-kiel.de http://ravel.phc.uni-kiel.de

Sprechstunde: nach Vereinbarung jederzeit!

Inhalt und Gebrauch Die vorliegende Version dieses Skripts enth¨lt alle wesentlichen Teile des zu dieser a Veranstaltung geh¨renden Stoffs sowie die wichtigsten Abbildungen und einige wenige o Beispiele. Die mittlerweile nur noch wenigen L¨cken befinden sich in Randbereichen des u Stoffs (meist gekennzeichnet durch das Symbol ♣). Eine Vertiefung des Stoffs anhand ¨ zahlreicher Beispiele findet in der Vorlesung und in den Ubungen statt. Große Teile dieses Skripts basieren auf einem Skript zu einer ahnlichen Veranstaltung an ¨ der Universit¨t Stuttgart (s.u. Danksagung). Einige weitere Teile sind diversen Lehrb¨chern a u entnommen, vor allem den in den Literaturangaben genannten; diese Anleihen und itate ¨ sind nicht einzeln im laufenden Text kenntlich gemacht, um die Ubersichtlichkeit zu ¨ erhalten. Lediglich einige wenige kleinere Abschnitte sowie Anderungen im logischen Aufbau stammen von mir selber. Unabh¨ngig vom derzeitigen Stand seiner Entstehung und Weiterentwicklung ist dieses a Skript weder geeignet als Lehrbuchersatz, noch als Ersatz f¨r den Besuch der Vorlesung u ¨ und der Ubungen. Insbesondere enth¨lt es nur wenige detaillierte Herleitungen, Beweise, a Beispiele oder Anwendungen. Das Skript liefert lediglich ein orientierendes Grundger¨st u f¨r die eigene Vorlesungsmitschrift und f¨r das selbst¨ndige Vor- und Nacharbeiten des u u a Stoffs anhand von Lehrb¨chern. u

Danksagung Dieses Skript basiert in Aufbau und Inhalt weitgehend auf der Vorlesung Mathematik f¨r u ” Chemiker“ von Herrn Prof. Dr. Hermann Stoll (Universit¨t Stuttgart), dem ich an dieser a Stelle f¨r die sehr angenehme usammenarbeit w¨hrend vieler Jahre gemeinsamer Lehre u a dieses Fachs in Stuttgart danken m¨chte. Ebenso danke ich Herrn Prof. Dr. Michael Dolg o (jetzt Universit¨t K¨ln), dessen Fassung der Vorlagen von Herrn Stoll ich freundlicherweise a o verwenden durfte. Bernd Hartke

Mathematik f¨ r Chemiker I • Prof. Dr. B. Hartke, Universit¨t Kiel, hartke@phc.uni-kiel.de u a

Literaturempfehlungen

analytische Mathematik u • grundlegende Werke: ahlreiche B¨cher u Mathematik f¨r Chemiker“, z.B.: ” – achmann et al., Wiley-VCH, 6. Auflage, 2007. – Papula, Enke-Verlag (z. t. nicht mehr im Druck?) – Brunner/Br¨ck, Spektrum Akademischer Verlag (Springer), 2. Auflage, 2008. u – Pavel/Winkler, Pearson Studium, 2007. – R¨sch, Springer-Verlag, 2007 (Nachdruck von 1993). o • weiterf¨hrende Werke: u – Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences“, Wiley, 3. Auflage, 2005. ” – Arfken: Mathematical Methods for Physicists“, Academic Press, 6. Auflage, ” 2005. numerische Mathematik • Press/Teukolsky/Vetterling: Numerical Recipes“, Cambridge University Press, 3. ” Auflage, 2007. • Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1 & 2“, Springer-Verlag, 10./5. Auflage, ” 2007/2005.

i