Stochastische Systeme

  • Titel: Stochastische Systeme
  • Organisation: UNI STUTTGART
  • Seitenzahl: 43

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Inhalt

  • Skript zur Vorlesung
  • Prof DrIng Arnold Kistner
  • Regelung stochastischer Systeme Literaturverzeichnis
  • Abb Beispiel einer zuf lligen Zeitfunktion a
  • KAPITEL STOCHASTISCHE PROZESSE
  • mx t t E xt
  • Rxx t s t s E xt xs
  • Rxx t s mx tmx s Streuungsfunktion
  • x mx t f x t dx
  • G AUSSsche Prozesse normal verteilte Prozesse
  • mx t mx t mx tk
  • Station re Prozesse a
  • wegen C covxx t t
  • Ergodische station re Prozesse a
  • x f x dx lim T T
  • Statistische Erfassung stochastischer Prozesse
  • xj tk mx tk
  • mit k l m xj tl mx tl
  • mit k l m
  • Rechenregeln fur stochastische Prozesse
  • my t Eyt E
  • Ryy t s Eyt ys E
  • Exu xv dudv
  • Rxx u v dudv
  • covyy t s Eyt my tys my s
  • E xu mx u du
  • Exu mx uxv mx v dudv
  • covxx u v dudv
  • Rxx Ex x const durch mx t
  • Normal verteiltes weißes Rauschen
  • Mit Hilfe des B RONSTEINIntegrals Nr wird
  • Erg nzungen a
  • Klassische Theorie stochastischer Systeme
  • o r tio o d lw
  • Beschreibung des Ausgangs eines Ubertragungssystems
  • Autokorrelationsfunktion des Ausgangs
  • KAPITEL KLASSISCHE THEORIE STOCHASTISCHER SYSTEME
  • Spetraldichte des Ausgangs
  • gugveiv eiu dudv
  • Syy Gi Gi
  • Streuung des Ausgangs P HILLIPSIntegrale
  • Die Streuung des Ausgangssignals ist schließlich
  • Sxx sds mit s i
  • GsGs Syy sds
  • Es gilt Ist GsGs Syy s mit
  • Bu s Au s Au s
  • Bn s ds An sAn s
  • dkl akl und k l n
  • bn dn dnn
  • Insbesondere gilt das Folgende I b a a
  • a a a b a b
  • Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzspektraldichte zwischen Eingang und Ausgang
  • Daraus ergeben sich die Kreuzkorrelationsfunktionen
  • Ryy ei d du
  • Wird f r das innere Integral u
  • Ryy ei d Syy
  • eingesetzt dann erh lt man a
  • gueiu du Syy Gi
  • Kreuzkorrelationsfunktionen und Kreuzspektraldichten zwischen Ausg ngen a
  • Abb Zwei Ubertragungssysteme
  • g ug v lim T T
  • Analog zu Kap wird daraus
  • Ry y eiuv d d
  • Ry y ei ddudv
  • g ug v eivu Sy y dudv
  • Durch geeignetes Umsortieren der Terme wird
  • Superposition von Ubertragungssignalen
  • Abb Additive Signal berlagerung u
  • Stochastische Signale in Regelkreisen
  • Betrachtet wird der Regelkreis aus Abb
  • Abb Behandlung eines Regelkreises
  • Allgemeines Schema zur Behandlung stochastischer Systeme klassisch
  • Abb Allgemeines lineares zeitinvariantes Ubertragungssystem
  • Schritt Betrachtung der stochastischen Ubertragungen x
  • Im eingeschwungenen Zustand sind x
  • normal verteilte sta
  • i st Sxj xj s ds i
  • j r j r xj
  • xj E xj Exj E xj
  • u u u v v v
  • Abb Aufspaltung des klassischen Problems
  • Abb Weißes Rauschen
  • Lineare stochastische Systeme
  • Abb Lineares zeitinvariantes System
  • xt xdet t xt
  • KAPITEL LINEARE STOCHASTISCHE SYSTEME
  • F o rm filte r
  • Abb Formlter f r die Rauschsignale vt u
  • Berechnung eines GesamtFormlters f r q u
  • Breitbandrauschen vt G s sc v cv
  • Abb Lineares zeitinvariantes Ubertragungssystem
  • xt t t xt
  • t u B u du
  • Atu At e B u du e x
  • eAu B u u
  • Erste und zweite Momente des Zustandssignals
  • und mit eAt m mt mt A mt
  • Q v u B eA
  • dv Q B eA
  • eAu B Q B e
  • Matrix K und einem wohlbestimmten
  • Abb Konguration f r das K ALMANFilter u
  • Kontinuierliches K ALMAN B UCYFilter
  • Messwerk z Hx v
  • n x n y n
  • Diskretes K ALMANFilter
  • Messwerk zk Hk xk vk
  • Kk Pk Hk Hk Pk Hk Rk
  • Hk Pk I Kk Hk Rk Kk
  • Kontinuierliches K ALMANFilter mit diskreten Messungen
  • xt Ktk ztk Htk t x
  • Ktk P t k
  • Regelung stochastischer Systeme
  • S te lls ig n a l u
  • M e ssu n g z
  • Ewt ws Q mint s Ewt vs
  • KAPITEL REGELUNG STOCHASTISCHER SYSTEME
  • SGB G S C BC
  • x Ex P E x x x x
  • Abb Resultierender optimaler Regler

Vorschau

Stochastische Systeme

Skript zur Vorlesung

Prof. Dr.-Ing. Arnold Kistner

2004 Universit¨ t Stuttgart, Institut A f¨ r Mechanik a u Pfaffenwaldring 9, immer 2.226 Tel.: 0711-6856198, e-mail: A.Kistner@mecha.uni-stuttgart.de

Inhaltsverzeichnis

1 Stochastische Prozesse 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spezielle Prozessklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 G AUSS’sche Prozesse (normal verteilte Prozesse) . . . . . . . . 1.2.2 Station¨ re Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.2.3 Ergodische station¨ re Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3 Statistische Erfassung stochastischer Prozesse . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rechenregeln f¨ r stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.5 Skalare station¨ re ergodische G AUSS’sche Prozesse mit Mittelwert Null a 1.5.1 Autokorrelationsfunktion (AKF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Spektraldichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 (Normal verteiltes) weißes Rauschen . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Erg¨ nzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3 3 5 5 6 7 7 8 10 10 10 10 11 12 14 14 14 14 15 15 17 18 20 21 22 24 26 26 29

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2 Klassische Theorie stochastischer Systeme 2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.2 Beschreibung des Ausgangs eines Ubertragungssystems . . . . . . . . . . . 2.2.1 Autokorrelationsfunktion des Ausgangs . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Spetraldichte des Ausgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Streuung des Ausgangs; P HILLIPS–Integrale . . . . . . . . . . . . 2.3 Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzspektraldichte zwischen Eingang und Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kreuzkorrelationsfunktionen und Kreuzspektraldichten zwischen Ausg¨ ngen a ¨ 2.5 Superposition von Ubertragungssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Stochastische Signale in Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Allgemeines Schema zur Behandlung stochastischer Systeme (klassisch) . . 2.8 Formfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lineare stochastische Systeme 3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Erste und zweite Momente des ustandssignals . . . . . . . . . . . . . . . 1

INHALTSVER EICHNIS

4 K ALMAN–Filter 4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Kontinuierliches K ALMAN –B UCY–Filter . . . . . . . . . 4.3 Diskretes K ALMAN–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Kontinuierliches K ALMAN–Filter mit diskreten Messungen

2 33 33 34 36 38 40 42

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5 Regelung stochastischer Systeme Literaturverzeichnis