Stochastik I

• Titel: Stochastik I
• Organisation: UNI SIEGEN
• Seitenzahl: 226

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Inhalt

• A Gesetzt mit L TE und LY
• Aufgaben Kapitel Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte auf R
• Denition Borelsche Algebra
• Satz Denition Maß Konvention Rechnen mit Faktum
• Bemerkung Beispiele Denition Meßbarkeit
• Denition Integral von Elementarfunktionen
• Beispiele Denition Integral meßbarer Funktionen
• Beispiel Unendlicher Mnzwurf u
• Denition Verteilung unter P
• a Denition Stochastische Unabhngigkeit
• Denition Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a Bemerkung
• Letzte Anderung November
• Satz Beispiele Satz Denition Produktmaß
• Beispiele Bemerkungen Satz Transformationsformel
• Folgerungen Denition Varianz
• Denition Beispiel Bemerkungen Beispiel vgl Satz Marko
• Deskriptive beschreibende Statistik
• Binomialverteilung A Letzte Anderung November
• Denition aus der Vorlesung A
• Nachklausur B Klausur B
• Nachklausur B Klausur B B
• Zweiseitiger Vorzeichentest A Einfache Nullhypothese zweiseitiger Signikanztest A
• A Mi A Mi Mi
• Mi Ni Mi Ni
• m A B B A falls A B
• Seite Letzte Anderung November
• B C falls A B
• Kapitel Die Algebra der Ereignisse und WMaße
• Beispiele wiederholtes zusammengesetztes Experiment
• ein geeigneter Stichprobenraum
• Das erste aber nicht das zweite
• mindestens eines aus einer Folge
• alle aus einer Folge
• ungerade Wrfelzahl u
• Der Wrfel zeigt eine ungerade Zahl u
• Die Wrfelsumme zweier Wrfel ist u u
• c i lim inf An
• ii lim sup An
• lim inf An lim sup An
• A B A B A
• An A nach A und A
• Ebenso fr lim inf An u
• n A nach A
• Falls A n endlich ist A
• Satz und Denition
• A Algebra EA
• Beispiel zwei Experimente
• Zweimaliger Wrfelwurf u
• I Menge der Zeitpunkte Stichprobenraum
• i beschreibt das Ereignis
• des iten Experiments der iten Beobachtung
• Die von dem System
• AI A Zj A j I A A
• mindestens eine Sechs
• gehrt also zur Algebra o
• Beispiel Die Borelsche Algebra auf R
• Z Z Zn
• n j fr mindestens ein j n u
• Jedes Elementarereignis a B R
• a b b a B R abgeschlossene Intervalle
• und die ubrigen gehen genauso Beispiel
• a a B R n
• qn n qn n B R
• Beispiel Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
• A B R A A
• Fairer Mnzwurf u
• und Ex An fr genau u
• b A B A gilt
• c Folgt sofort aus b
• P An P A
• e Folgt aus c und d
• Anwendung nfaches Wurfeln
• Denition Zhldichte a
• eine Zhldichte fP deniert a
• P Bm lim P An
• zu berechnen und dann c zu verwenden Es
• der Summanden P
• Es ist f n und
• n e e e n
• Beispiel Kontinuierliche Gleichverteilung auf
• lim a a lim
• Bei geht die Stetigkeit von oben ein
• a b a b a b b a
• k k n n n n
• k n n n
• Deren Komplement nirgendwo eine ist
• die ersten nStellen sind Bn lim
• k n n An Bn
• a Zeigen sie daß
• eine Algebra ist
• An fr fast alle n u
• An fr unendlich viele n u
• pi iN mit
• Zeigen Sie daß durch
• fr A A u Letzte Anderung November
• Kapitel Der Laplacesche WRaum und Kombinatorik
• Denition Permutation Kombination
• Es sei A und k
• kKombination ohne Wiederholung kKombination mit Wiederholung
• kPermutationen ohne Wiederholung
• A Pk nk n n n k k
• n k n k nk k Seite
• Beweis a Ak A nk
• Elemente Das Ereignis
• Arten auswhlen und der a
• unterscheidbare Objekte a mit Ausschlußprinzip
• b ohne Ausschlußprinzip
• Nicht unterscheidbare Objekte a mit Ausschlußsprinzip
• Ohne Bercksichtigung u der Reihenfolge
• Fr n ist P E u
• Satz Sylvester Poincar e
• k n n n k k exp n
• Nach der Siebformel gilt dann
• l schon fr n relativ klein u l
• Es ist Ck Bk Ck
• P Ck P Bk P Ck
• Buben fest bleiben
• l k e Seite
• a Zeigen Sie daß die Menge
• Kapitel Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte auf Rd
• ein halboener Quader
• Konvention Rechnen mit
• Auf R gilt
• Es gibt auf Rd B Rd
• ein eindeutig bestimmtes Maß d mit
• Denition Meßbarkeit Beispiele
• und f g f g
• Jede Funktion der Gestalt
• Diese Summe hat nur endlich viele Summanden
• Fr A A gilt u
• Es folgt leicht daß die Elementarfunktion g
• Denition Integral meßbarer Funktionen
• f d f d sup
• f d natrlich kein Widerspruch u
• f d fr f f meßbar u
• Dies folgt trivialerweise aus der Denition und
• g d fr g E A c u
• g d fr g g E A u
• j Aj das Integral
• Satz BeppoLevi monotone Konvergenz
• f d Hier sind Flle mglich a o
• g daß lim n
• Korollar Eigenschaften des Integrals
• c f d c f d
• f d fr c und f meßbar u
• gn hn d lim f d
• f d fr f f meßbar u
• nk tnk tnk eine Elementarfunktion mit
• ab f d lim
• f dd Dann wird durch
• Dann folgt aus Satz P
• A f dd lim
• Fr T ist E T u
• mindestens bis zum Zeitpunkt T funktioniert
• i t t ii N a b
• ex dx eT die Wahrscheinlichkeit daß das Bauteil
• An f dd lim
• d CauchyVerteilung Es sei
• dx arctan x x
• Denition FP x
• c FP besitzt linksseitige Grenzwerte
• lim P xn P
• lim P xn xn
• FEy x Ey x
• Ey heißt DiracVerteilung oder Punktmaß in y
• Faktum Satz von Fubini
• Nun ist f x x d x
• exp exp exp
• x x x x x exp x x
• Beweis von Satz a
• hat die Indikatorfunktion
• Kn LnK Ll Kk
• lim supAn lim sup An
• c f x x x
• c Berechnen Sie f d
• und lim inf An lim inf An
• falls die An disjunkt sind falls A A
• Aufgabe Bertrandsches Paradoxon
• Kapitel Zufallsvariable und Unabhngikeit a
• Denition Zufallsvariable Zufallsvektor
• Zahl Wappen
• da Rj x y x y
• als Dierenz oenen Mengen
• Cn A n Cn
• Insbesondere sind m
• Beispiel Unendlicher Munzwurf
• ist eine disjunkte Folge in A Seite
• P heißt diskrete Dreiecksverteilung auf P OT
• fr j n u
• A u eu du E A Seite
• Andere Mglichkeit Uber Verteilungsfunktionen o ey
• Denition Stochastische Unabhngigkeit a
• A A P A A P
• fr alle endlichen J I u
• und dies ist vgl a FE y
• Denition Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a
• a j jI unabhngig a
• P j Aj fr alle j I u
• nach dem Distributivgesetz
• a vgl Bsp b nfacher Mnzwurf u
• und weiterhin Seite
• P j xj fr j J u
• P Pn n
• n Pj j Pj j
• A x f x d x
• Fr Aj B R beliebig folgt dann u
• dh die j jn sind unabhngig a
• P k P n
• k kn Nn k kn k
• fn k pn p
• Bp j pk p
• p pk p pkn pn pk
• Nach der Taylorschen Formel
• fn k p p
• Koezientenvergleich liefert fn k
• P k P k
• P k n k
• P k P n k
• nk k e k n k n
• n e n n
• nk k pn p k
• n k nk k n k
• Systeme unabhngig sind a
• b Zeigen Sie daß W
• A An B
• j mod Untersuchen Sie welche der folgenden
• bzw A An B ist Seite
• Kapitel Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen
• Denition Integrierbar Erwartungswert
• dP und dP
• j j gleich EP
• der Mittelwert aller Elemente von I
• EP A P A P A P A
• E Y E E Y
• E Y E Y Y
• e Ist integrierbar integrierbar Es gilt
• E E
• j Aj mit Aj A
• EP g EP g
• j Aj dP j P Aj
• gn dP g dP
• und die Behauptung folgt aus a
• endlich ist und es gilt
• EP EP g
• lim E n lim
• idR dP EP
• xj Aj Mit BeppoLevi folgt
• xj P Aj x P x
• E E E
• xj Aj x f x d x
• xj Aj mit xj und Aj B R
• III Ist g g g beliebig g dQ
• k p pk k
• Sei E Seite
• p p p p
• x ex dx x ex dx ex
• k p pk
• R beliebig Setze E E
• existiert der Erwartungswert nicht
• E E E j
• Die Streuung betrgt a
• b Es sei Bp verteilt
• fr alle c R u Seite
• EP EP EP
• Satz CauchySchwarz sche Ungleichung
• Y Y Y
• Satz ermglicht die folgende Denition o
• Denition Kovarianz unkorreliert
• E E Y E Y
• Formel von Bienaime e
• b Die erste Behauptung folgt aus
• j k und Satz
• E f g Y
• E f E g Y
• Nach Lemma ist
• Beweis von c
• die Korrelation von und Y
• xj P f xj
• yk P g Y yk
• falls V V Y sonst
• V n p p
• Satz Tschebysche sche Ungleichung
• V E E
• da nach b V j p p gilt
• V j n p p
• Satz Schwaches Gesetz der großen Zahlen
• E i n n i n
• Mit der Tschebyscheschen Ungleichung folgt dann P n
• Denition Stochastische Konvergenz
• u a Satz besagt daß n fr n
• Anwendung Numerische Integration MonteCarloMethode
• quadratisch integrierbar und unkorreliert Es ist
• P f j n j
• E Yj E f j Weiter ist
• V Yj E Yj E Yj
• Nach Satz gilt dann
• P Yj f j n j n j
• Satz liefert dann die Behauptung
• stochastisch gegen die Erfolgswahrscheinlichkeit
• a Yk sin k k sind paarweise unkorreliert b
• sin k stochastisch
• Kapitel Approximationen der Binomialverteilung
• Anzahl der eingetretenen Versicherungsflle a
• P S T P
• P S k Bnpn k
• Bnpn k npn k npn k k
• folgt die Behauptung
• p n p n n p n j
• ist B verteilt Sei
• Fr k ergeben sich u
• II Zentraler Grenzwertsatz
• Fr n gilt u Beweis
• Faktum Stirling sche Formel
• p pn k k j
• n p n n n
• Es seien tn un Falls lim Schreibweise
• Satz Lokaler zentraler Grenzwertsatz
• Es seien p und an bn Folgen mit
• knp exp npp
• Dann ist die Aussage quivalent zu a
• max Qn k Letzte Anderung November
• k np np p
• Qn kn Es gilt kn np n
• n kn np pq npq n
• t ln kn ln n kn np
• exp kn ln np kn
• max Qn k Dann ist zu zeigen daß
• Dann gilt kn n ln kn n q
• g t g p g p t p
• t p r t p pq
• die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Seite Letzte Anderung November
• g p t p r t p
• Satz Zentraler Grenzwertsatz von deMoivre und Laplace
• x x exp Bleibt zu zeigen
• exp nk n npq
• xnan xnan xnan xnan
• exp x nk npq
• t dt b a
• und b R daß
• Der maximale Wert von pq ist
• Es gilt fr Sn u
• Beweis Fr jedes a b gilt u
• Da eine Verteilungsfunktion ist gilt lim a
• Fr c b gilt u
• Da lim c folgt
• und daraus folgt die Behauptung Seite
• n m n m
• Snm sei Bnm verteilt P Snm n m
• S nm nm P n m
• da m sehr viel kleiner als n ist
• lim N Bnpn k k
• an und bn sind asymptotisch gleich Zeigen Sie
• an bn Letzte Anderung November
• Kapitel Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Denition Bedingte Wahrscheinlichkeit
• A B Behauptung
• P S Bnp n p p
• P T k S p p
• P B B und P B B Sei
• P Cn B P B n
• B AB B n n n p p
• P Cn B P B n
• c Umkehrformel Falls P A so gilt
• P B A P B A
• d Sind A An A Ereignisse so gilt
• und im Fall P A
• Beweis Es ist
• P Bn P A Bn
• Die Formel von Bayes liefert
• Bei geht ein Analog
• Lebensdauer eines Bauteils
• F s t F s F t
• F F t t t F p
• Sei umgekehrt PT Gp
• p p p p
• P T t s T t
• Beispiel Rechner mit c Prozessoren
• Kij P m i
• P m I m i Letzte Anderung November
• P Dk ik ik
• P D j im Kim j
• m j m i i
• m i i
• Beispiel symmetrische Irrfahrt
• P m i P m j m i
• falls i j sonst
• Fr c i c m gilt u
• u Und fr i c m gilt
• j i j i ji sonst
• j cm j cm sonst Letzte Anderung November
• K P m j m iij
• Beweis Da I endlich
• N min Kij ist wohldeniert
• j Kij j Kij
• jIj iI N i i Kij
• N i i Kij
• N i i Kijo
• Beweis Fr l I sei l u
• li iI Dann ist l eine Startverteilung und
• wobei K li i
• P n i K n i i
• Beispiel vgl und
• k k c c k c c
• Interpretation Die Zahl
• Kapitel Schtzung statistischer Parameter a
• Beispiele MaximumLikelihoodSchtzer a
• wobei P n k nk und k
• der j die relative Hugkeit des Ereignisses a
• betrgt a S k
• wir die partiellen Ableitungen Gleichung
• n V k n n
• fr alle k n und damit u
• der erwartungstreue Minimalschtzer fr g a u Beweis
• fr alle mit S k gilt u k
• E n E T n n
• fr alle dh u
• k n xk n k
• am kleinsten j T ein weiterer erwartungstreuer
• gilt und somit
• Anhang A Sonderveranstaltung Lehramt Sek II
• Anhang A Sonderveranstaltung Lehramt Sek II Das Ziegenspiel
• Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
• Spieler kann muß aber nicht wechseln
• Also Der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit
• p verliert q
• P Spieler gewinnt P Spieler verliert
• Seite A Letzte Anderung November
• dabei p q p q
• verliert gewinnt gewinnt
• Auswerten von Erhebungen durch Hugkeiten a
• a Denition absolute relative Hugkeit
• Merkmal x habe s Ausprgungen dann ist a
• hi Seite A
• Klassizierung der Ausprgungen a
• Beschreibung von Hugkeiten durch Parameter a
• und fr die angeordneten Urlisten folgt u
• Klasse a Klasse b
• x Klasse a y Klasse b
• Satz ohne Beweis
• Zur Veranschaulichung Klasse a
• xnp xnp xnp
• x x x x x x
• Denition aus der Vorlesung
• P Genau zweimal Wappen
• n pk pnk k Letzte Anderung November
• Gnstige Pfade u
• Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion Bnp
• Bnp k Bnp n k
• Nicht aufgef hrte Werte sind auf Dezimalstellen u
• Tabelle der Summenfunktion Fnp
• Hypergeometrische Verteilung Urnenmodelle
• a mit Zurcklegen u
• M k N M M k N M
• N r nkN rnk N nN n
• Ziehen mit Zurcklegen u
• ohne Zurcklegen u
• r r N n r Nn N rs
• Mdchen a Jungen
• mgliche Ausschußzusammensetzungen o
• Kurssprecherin wird in den Ausschuß gelost
• Ausschuß enthlt hchstens einen Jungen a o
• Stellen sind mit Buchstaben zu besetzen
• unterschiedliche Anordnungen Aufgabe
• b genau zwei in einem Stockwerk
• B P B P B
• Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten
• dann wird durch P A
• f dd A B Rd dx dt t
• Einige besondere Werte x x
• t x x t x x
• Wir betrachten die noch extremeren Flle a
• P weiße Kugeln P weiße Kugeln
• P Anzahl weißer Kugeln Letzte Anderung November
• P Anzahl der
• kleinstes g mit dieser Eigenschaft Beispiele
• Ratte Nummer vor Beginn nach Zugabe
• Zwillingspaar Nr Erstgeborener Zweitgeborener
• Tier Nr linke Nebenniere rechte Nebenniere
• Aus Aufgabe Aa folgt g Ablehnungsbereich K
• Probe Nr Messung Messung
• Liefern die beiden Messungen unterschiedliche Werte Irrtumswahrscheinlichkeit Antwort
• Ablehnungsbereich K Letzte Anderung November
• Panzenpaar Nr Sorte I Sorte II
• Liefern beide Sorten unterschiedliche Ertrge Irrtumswahrscheinlichkeit a Antwort
• Hypothese Beide Sorten liefern gleiche Ertrge a
• Aus der Symmetrie der Binomialverteilung folgt
• Probe Nr Sorte I Sorte II
• Einfache Nullhypothese zweiseitiger Signikanztest
• Wie lautet der Ablehnungsbereich
• Anzahl der weißen Kugeln in der Stichprobe
• Stichprobenumfang n Irrtumswahrscheinlichkeit
• Entscheidung Die Hypothese H wird abgelehnt beibehalten
• Zusammengesetzte Nullhypothese einseitiger Signikanztest
• Beide Arten von Tests heißen einseitige Tests
• Approximation der Binomialverteilung
• Nherungsformel von MoivreLaplace a
• Ungleichung von Tschebysche
• k n p n p p Seite A
• p p n p p n n
• p p n n n an da
• Maximum n
• Aufgaben zu Erwartungswert und Varianz
• A P A
• A in der ersten Durchfhrung u
• A in der zweiten Durchfhrung A A u
• E Z Zur zweiten Frage
• Z Gewinn von Spieler II
• Kein weiteres Spiel mehr mglich o
• EUR EUR EUR EUR
• Verlust Verlust Verlust Verlust
• ersten Spiel zweiten Spiel dritten Spiel vierten Spiel
• EUR Verlust Kein weiteres Spiel mehr mglich o
• E E E
• V E E
• P P P
• E E E E
• yi P Y yi E Z
• Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y Y
• P xi xj
• P xi P xj
• I k k
• P x E gr N E gr
• E gl E gr
• Wahrscheinlichkeitsverteilung von xi
• V E
• a a a a a a a a
• Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y
• i Ergebnis des iten Wurfs Letzte Anderung November
• Fr den Annahmebereich folgt u
• Bildverteilungen Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Wahrscheinlichkeitsverteilung von S
• M sei das Minimum der gewrfelten Zahlen u
• Angabe der Zhldichte von PM Sei l a
• Verteilung von S M
• PSM P S M
• M min Bildverteilung
• Das Ereignis S ist zum Beispiel
• P S k Seite A
• Wahrscheinlichkeitsraum P A B
• Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B Beispiel
• P B A P B A P A
• P A B C P A B
• Anzahl der weißen Kugeln
• Ai Im iten Zug eine weiße Kugel
• Damit ergibt sich
• P A P B A P A
• hinter der nicht gewhlten a
• Anhang B Klausuren
• Klausur zur Vorlesung Stochastik I
• Name Vorname Geburtsdatum Matrikelnummer
• Nummer bearbeitet Punkte
• Sommersemester Qual Stud Nachweis
• Stochastik I Klausur Sommersemester
• Aufgabe xP xP xP xP xP
• ii von Zufallsvariablen an
• Seite B Letzte Anderung November
• Stochastik I Klausur Sommersemester
• Fr ein x fest und sei u
• c Es sei eine Zufallsvariable mit Verteilung
• einer reellwertigen Zufallsvariablen
• i Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable ii LebesgueDichte einer Verteilung
• Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I
• Aufgabe xP xP xP P
• Aufgabe xP xP xP xP P
• i die Gleichverteilung auf einer endlichen Menge
• a die kontinuierliche Gleichverteilung
• b die Unabhngigkeit einer Familie von Zufallsvariablen a
• mit der TschebyscheUngleichung ab
• i den Begri der Dichte einer Verteilung
• ii den Begri einer reellwertigen Zufallsvariablen
• Die Bearbeitung anderer Aufgabenteile wird nicht bewertet
• Aufgabe P P P P
• i kPermutationen mit Wiederholung einer nelementigen Menge
• ii kPermutationen ohne Wiederholung einer nelementigen Menge
• Aufgabe P P P P P P
• Aufgabe P P P P P
• a Zeigen Sie daß F eine Verteilungsfunktion ist
• Es sei eine auf gleichverteilte Zufallsvariable
• sin k stochastisch fr n u
• i Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable
• ii Unabhngigkeit einer Folge von Zufallsvariablen a
• iii P S I mit P S I
• c Geben Sie die Formel von Bayes an
• mit P S I M
• iii Den Erwartungswert und die Varianz von R
• sin k fr n stochastisch u
• Aufgabe P P P
• ii Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariable
• i Geben Sie den Ubergangsgraphen an
• c Formulieren Sie den Satz von Markov
• Bemerkungen Quadratisch Irrfahrt Symmetrische einfach Irrtumswahrscheinlichkeit A A
• Algebra Produktmaß Punktmaß

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