Stochastik I

  • Titel: Stochastik I
  • Organisation: UNI SIEGEN
  • Seitenzahl: 226

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Inhalt

  • A Gesetzt mit L TE und LY
  • Aufgaben Kapitel Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte auf R
  • Denition Borelsche Algebra
  • Satz Denition Maß Konvention Rechnen mit Faktum
  • Bemerkung Beispiele Denition Meßbarkeit
  • Denition Integral von Elementarfunktionen
  • Beispiele Denition Integral meßbarer Funktionen
  • Beispiel Unendlicher Mnzwurf u
  • Denition Verteilung unter P
  • a Denition Stochastische Unabhngigkeit
  • Denition Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a Bemerkung
  • Letzte Anderung November
  • Satz Beispiele Satz Denition Produktmaß
  • Beispiele Bemerkungen Satz Transformationsformel
  • Folgerungen Denition Varianz
  • Denition Beispiel Bemerkungen Beispiel vgl Satz Marko
  • Deskriptive beschreibende Statistik
  • Binomialverteilung A Letzte Anderung November
  • Denition aus der Vorlesung A
  • Nachklausur B Klausur B
  • Nachklausur B Klausur B B
  • Zweiseitiger Vorzeichentest A Einfache Nullhypothese zweiseitiger Signikanztest A
  • A Mi A Mi Mi
  • Mi Ni Mi Ni
  • m A B B A falls A B
  • Seite Letzte Anderung November
  • B C falls A B
  • Kapitel Die Algebra der Ereignisse und WMaße
  • Beispiele wiederholtes zusammengesetztes Experiment
  • ein geeigneter Stichprobenraum
  • Das erste aber nicht das zweite
  • mindestens eines aus einer Folge
  • alle aus einer Folge
  • ungerade Wrfelzahl u
  • Der Wrfel zeigt eine ungerade Zahl u
  • Die Wrfelsumme zweier Wrfel ist u u
  • c i lim inf An
  • ii lim sup An
  • lim inf An lim sup An
  • A B A B A
  • An A nach A und A
  • Ebenso fr lim inf An u
  • n A nach A
  • Falls A n endlich ist A
  • Satz und Denition
  • A Algebra EA
  • Beispiel zwei Experimente
  • Zweimaliger Wrfelwurf u
  • I Menge der Zeitpunkte Stichprobenraum
  • i beschreibt das Ereignis
  • des iten Experiments der iten Beobachtung
  • Die von dem System
  • AI A Zj A j I A A
  • mindestens eine Sechs
  • gehrt also zur Algebra o
  • Beispiel Die Borelsche Algebra auf R
  • Z Z Zn
  • n j fr mindestens ein j n u
  • Jedes Elementarereignis a B R
  • a b b a B R abgeschlossene Intervalle
  • und die ubrigen gehen genauso Beispiel
  • a a B R n
  • qn n qn n B R
  • Beispiel Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
  • A B R A A
  • Fairer Mnzwurf u
  • und Ex An fr genau u
  • b A B A gilt
  • c Folgt sofort aus b
  • P An P A
  • e Folgt aus c und d
  • Anwendung nfaches Wurfeln
  • Denition Zhldichte a
  • eine Zhldichte fP deniert a
  • P Bm lim P An
  • zu berechnen und dann c zu verwenden Es
  • der Summanden P
  • Es ist f n und
  • n e e e n
  • Beispiel Kontinuierliche Gleichverteilung auf
  • lim a a lim
  • Bei geht die Stetigkeit von oben ein
  • a b a b a b b a
  • k k n n n n
  • k n n n
  • Deren Komplement nirgendwo eine ist
  • die ersten nStellen sind Bn lim
  • k n n An Bn
  • a Zeigen sie daß
  • eine Algebra ist
  • An fr fast alle n u
  • An fr unendlich viele n u
  • pi iN mit
  • Zeigen Sie daß durch
  • fr A A u Letzte Anderung November
  • Kapitel Der Laplacesche WRaum und Kombinatorik
  • Denition Permutation Kombination
  • Es sei A und k
  • kKombination ohne Wiederholung kKombination mit Wiederholung
  • kPermutationen ohne Wiederholung
  • A Pk nk n n n k k
  • n k n k nk k Seite
  • Beweis a Ak A nk
  • Elemente Das Ereignis
  • Arten auswhlen und der a
  • unterscheidbare Objekte a mit Ausschlußprinzip
  • b ohne Ausschlußprinzip
  • Nicht unterscheidbare Objekte a mit Ausschlußsprinzip
  • Ohne Bercksichtigung u der Reihenfolge
  • Fr n ist P E u
  • Satz Sylvester Poincar e
  • k n n n k k exp n
  • Nach der Siebformel gilt dann
  • l schon fr n relativ klein u l
  • Es ist Ck Bk Ck
  • P Ck P Bk P Ck
  • Buben fest bleiben
  • l k e Seite
  • a Zeigen Sie daß die Menge
  • Kapitel Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte auf Rd
  • ein halboener Quader
  • Konvention Rechnen mit
  • Auf R gilt
  • Es gibt auf Rd B Rd
  • ein eindeutig bestimmtes Maß d mit
  • Denition Meßbarkeit Beispiele
  • und f g f g
  • Jede Funktion der Gestalt
  • Diese Summe hat nur endlich viele Summanden
  • Fr A A gilt u
  • Es folgt leicht daß die Elementarfunktion g
  • Denition Integral meßbarer Funktionen
  • f d f d sup
  • f d natrlich kein Widerspruch u
  • f d fr f f meßbar u
  • Dies folgt trivialerweise aus der Denition und
  • g d fr g E A c u
  • g d fr g g E A u
  • j Aj das Integral
  • Satz BeppoLevi monotone Konvergenz
  • f d Hier sind Flle mglich a o
  • g daß lim n
  • Korollar Eigenschaften des Integrals
  • c f d c f d
  • f d fr c und f meßbar u
  • gn hn d lim f d
  • f d fr f f meßbar u
  • nk tnk tnk eine Elementarfunktion mit
  • ab f d lim
  • f dd Dann wird durch
  • Dann folgt aus Satz P
  • A f dd lim
  • Fr T ist E T u
  • mindestens bis zum Zeitpunkt T funktioniert
  • i t t ii N a b
  • ex dx eT die Wahrscheinlichkeit daß das Bauteil
  • An f dd lim
  • d CauchyVerteilung Es sei
  • dx arctan x x
  • Denition FP x
  • c FP besitzt linksseitige Grenzwerte
  • lim P xn P
  • lim P xn xn
  • FEy x Ey x
  • Ey heißt DiracVerteilung oder Punktmaß in y
  • Faktum Satz von Fubini
  • Nun ist f x x d x
  • exp exp exp
  • x x x x x exp x x
  • Beweis von Satz a
  • hat die Indikatorfunktion
  • Kn LnK Ll Kk
  • lim supAn lim sup An
  • c f x x x
  • c Berechnen Sie f d
  • und lim inf An lim inf An
  • falls die An disjunkt sind falls A A
  • Aufgabe Bertrandsches Paradoxon
  • Kapitel Zufallsvariable und Unabhngikeit a
  • Denition Zufallsvariable Zufallsvektor
  • Zahl Wappen
  • da Rj x y x y
  • als Dierenz oenen Mengen
  • Cn A n Cn
  • Insbesondere sind m
  • Beispiel Unendlicher Munzwurf
  • ist eine disjunkte Folge in A Seite
  • P heißt diskrete Dreiecksverteilung auf P OT
  • fr j n u
  • A u eu du E A Seite
  • Andere Mglichkeit Uber Verteilungsfunktionen o ey
  • Denition Stochastische Unabhngigkeit a
  • A A P A A P
  • fr alle endlichen J I u
  • und dies ist vgl a FE y
  • Denition Unabhngigkeit von Zufallsvariablen a
  • a j jI unabhngig a
  • P j Aj fr alle j I u
  • nach dem Distributivgesetz
  • a vgl Bsp b nfacher Mnzwurf u
  • und weiterhin Seite
  • P j xj fr j J u
  • P Pn n
  • n Pj j Pj j
  • A x f x d x
  • Fr Aj B R beliebig folgt dann u
  • dh die j jn sind unabhngig a
  • P k P n
  • k kn Nn k kn k
  • fn k pn p
  • Bp j pk p
  • p pk p pkn pn pk
  • Nach der Taylorschen Formel
  • fn k p p
  • Koezientenvergleich liefert fn k
  • P k P k
  • P k n k
  • P k P n k
  • nk k e k n k n
  • n e n n
  • nk k pn p k
  • n k nk k n k
  • Systeme unabhngig sind a
  • b Zeigen Sie daß W
  • A An B
  • j mod Untersuchen Sie welche der folgenden
  • bzw A An B ist Seite
  • Kapitel Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen
  • Denition Integrierbar Erwartungswert
  • dP und dP
  • j j gleich EP
  • der Mittelwert aller Elemente von I
  • EP A P A P A P A
  • E Y E E Y
  • E Y E Y Y
  • e Ist integrierbar integrierbar Es gilt
  • E E
  • j Aj mit Aj A
  • EP g EP g
  • j Aj dP j P Aj
  • gn dP g dP
  • und die Behauptung folgt aus a
  • endlich ist und es gilt
  • EP EP g
  • lim E n lim
  • idR dP EP
  • xj Aj Mit BeppoLevi folgt
  • xj P Aj x P x
  • E E E
  • xj Aj x f x d x
  • xj Aj mit xj und Aj B R
  • III Ist g g g beliebig g dQ
  • k p pk k
  • Sei E Seite
  • p p p p
  • x ex dx x ex dx ex
  • k p pk
  • R beliebig Setze E E
  • existiert der Erwartungswert nicht
  • E E E j
  • Die Streuung betrgt a
  • b Es sei Bp verteilt
  • fr alle c R u Seite
  • EP EP EP
  • Satz CauchySchwarz sche Ungleichung
  • Y Y Y
  • Satz ermglicht die folgende Denition o
  • Denition Kovarianz unkorreliert
  • E E Y E Y
  • Formel von Bienaime e
  • b Die erste Behauptung folgt aus
  • j k und Satz
  • E f g Y
  • E f E g Y
  • Nach Lemma ist
  • Beweis von c
  • die Korrelation von und Y
  • xj P f xj
  • yk P g Y yk
  • falls V V Y sonst
  • V n p p
  • Satz Tschebysche sche Ungleichung
  • V E E
  • da nach b V j p p gilt
  • V j n p p
  • Satz Schwaches Gesetz der großen Zahlen
  • E i n n i n
  • Mit der Tschebyscheschen Ungleichung folgt dann P n
  • Denition Stochastische Konvergenz
  • u a Satz besagt daß n fr n
  • Anwendung Numerische Integration MonteCarloMethode
  • quadratisch integrierbar und unkorreliert Es ist
  • P f j n j
  • E Yj E f j Weiter ist
  • V Yj E Yj E Yj
  • Nach Satz gilt dann
  • P Yj f j n j n j
  • Satz liefert dann die Behauptung
  • stochastisch gegen die Erfolgswahrscheinlichkeit
  • a Yk sin k k sind paarweise unkorreliert b
  • sin k stochastisch
  • Kapitel Approximationen der Binomialverteilung
  • Anzahl der eingetretenen Versicherungsflle a
  • P S T P
  • P S k Bnpn k
  • Bnpn k npn k npn k k
  • folgt die Behauptung
  • p n p n n p n j
  • ist B verteilt Sei
  • Fr k ergeben sich u
  • II Zentraler Grenzwertsatz
  • Fr n gilt u Beweis
  • Faktum Stirling sche Formel
  • p pn k k j
  • n p n n n
  • Es seien tn un Falls lim Schreibweise
  • Satz Lokaler zentraler Grenzwertsatz
  • Es seien p und an bn Folgen mit
  • knp exp npp
  • Dann ist die Aussage quivalent zu a
  • max Qn k Letzte Anderung November
  • k np np p
  • Qn kn Es gilt kn np n
  • n kn np pq npq n
  • t ln kn ln n kn np
  • exp kn ln np kn
  • max Qn k Dann ist zu zeigen daß
  • Dann gilt kn n ln kn n q
  • g t g p g p t p
  • t p r t p pq
  • die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Seite Letzte Anderung November
  • g p t p r t p
  • Satz Zentraler Grenzwertsatz von deMoivre und Laplace
  • x x exp Bleibt zu zeigen
  • exp nk n npq
  • xnan xnan xnan xnan
  • exp x nk npq
  • t dt b a
  • und b R daß
  • Der maximale Wert von pq ist
  • Es gilt fr Sn u
  • Beweis Fr jedes a b gilt u
  • Da eine Verteilungsfunktion ist gilt lim a
  • Fr c b gilt u
  • Da lim c folgt
  • und daraus folgt die Behauptung Seite
  • n m n m
  • Snm sei Bnm verteilt P Snm n m
  • S nm nm P n m
  • da m sehr viel kleiner als n ist
  • lim N Bnpn k k
  • an und bn sind asymptotisch gleich Zeigen Sie
  • an bn Letzte Anderung November
  • Kapitel Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • Denition Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • A B Behauptung
  • P S Bnp n p p
  • P T k S p p
  • P B B und P B B Sei
  • P Cn B P B n
  • B AB B n n n p p
  • P Cn B P B n
  • c Umkehrformel Falls P A so gilt
  • P B A P B A
  • d Sind A An A Ereignisse so gilt
  • und im Fall P A
  • Beweis Es ist
  • P Bn P A Bn
  • Die Formel von Bayes liefert
  • Bei geht ein Analog
  • Lebensdauer eines Bauteils
  • F s t F s F t
  • F F t t t F p
  • Sei umgekehrt PT Gp
  • p p p p
  • P T t s T t
  • Beispiel Rechner mit c Prozessoren
  • Kij P m i
  • P m I m i Letzte Anderung November
  • P Dk ik ik
  • P D j im Kim j
  • m j m i i
  • m i i
  • Beispiel symmetrische Irrfahrt
  • P m i P m j m i
  • falls i j sonst
  • Fr c i c m gilt u
  • u Und fr i c m gilt
  • j i j i ji sonst
  • j cm j cm sonst Letzte Anderung November
  • K P m j m iij
  • Beweis Da I endlich
  • N min Kij ist wohldeniert
  • j Kij j Kij
  • jIj iI N i i Kij
  • N i i Kij
  • N i i Kijo
  • Beweis Fr l I sei l u
  • li iI Dann ist l eine Startverteilung und
  • wobei K li i
  • P n i K n i i
  • Beispiel vgl und
  • k k c c k c c
  • Interpretation Die Zahl
  • Kapitel Schtzung statistischer Parameter a
  • Beispiele MaximumLikelihoodSchtzer a
  • wobei P n k nk und k
  • der j die relative Hugkeit des Ereignisses a
  • betrgt a S k
  • wir die partiellen Ableitungen Gleichung
  • n V k n n
  • fr alle k n und damit u
  • der erwartungstreue Minimalschtzer fr g a u Beweis
  • fr alle mit S k gilt u k
  • E n E T n n
  • fr alle dh u
  • k n xk n k
  • am kleinsten j T ein weiterer erwartungstreuer
  • gilt und somit
  • Anhang A Sonderveranstaltung Lehramt Sek II
  • Anhang A Sonderveranstaltung Lehramt Sek II Das Ziegenspiel
  • Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
  • Spieler kann muß aber nicht wechseln
  • Also Der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit
  • p verliert q
  • P Spieler gewinnt P Spieler verliert
  • Seite A Letzte Anderung November
  • dabei p q p q
  • verliert gewinnt gewinnt
  • Auswerten von Erhebungen durch Hugkeiten a
  • a Denition absolute relative Hugkeit
  • Merkmal x habe s Ausprgungen dann ist a
  • hi Seite A
  • Klassizierung der Ausprgungen a
  • Beschreibung von Hugkeiten durch Parameter a
  • und fr die angeordneten Urlisten folgt u
  • Klasse a Klasse b
  • x Klasse a y Klasse b
  • Satz ohne Beweis
  • Zur Veranschaulichung Klasse a
  • xnp xnp xnp
  • x x x x x x
  • Denition aus der Vorlesung
  • P Genau zweimal Wappen
  • n pk pnk k Letzte Anderung November
  • Gnstige Pfade u
  • Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion Bnp
  • Bnp k Bnp n k
  • Nicht aufgef hrte Werte sind auf Dezimalstellen u
  • Tabelle der Summenfunktion Fnp
  • Hypergeometrische Verteilung Urnenmodelle
  • a mit Zurcklegen u
  • M k N M M k N M
  • N r nkN rnk N nN n
  • Ziehen mit Zurcklegen u
  • ohne Zurcklegen u
  • r r N n r Nn N rs
  • Mdchen a Jungen
  • mgliche Ausschußzusammensetzungen o
  • Kurssprecherin wird in den Ausschuß gelost
  • Ausschuß enthlt hchstens einen Jungen a o
  • Stellen sind mit Buchstaben zu besetzen
  • unterschiedliche Anordnungen Aufgabe
  • b genau zwei in einem Stockwerk
  • B P B P B
  • Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten
  • dann wird durch P A
  • f dd A B Rd dx dt t
  • Einige besondere Werte x x
  • t x x t x x
  • Wir betrachten die noch extremeren Flle a
  • P weiße Kugeln P weiße Kugeln
  • P Anzahl weißer Kugeln Letzte Anderung November
  • P Anzahl der
  • kleinstes g mit dieser Eigenschaft Beispiele
  • Ratte Nummer vor Beginn nach Zugabe
  • Zwillingspaar Nr Erstgeborener Zweitgeborener
  • Tier Nr linke Nebenniere rechte Nebenniere
  • Aus Aufgabe Aa folgt g Ablehnungsbereich K
  • Probe Nr Messung Messung
  • Liefern die beiden Messungen unterschiedliche Werte Irrtumswahrscheinlichkeit Antwort
  • Ablehnungsbereich K Letzte Anderung November
  • Panzenpaar Nr Sorte I Sorte II
  • Liefern beide Sorten unterschiedliche Ertrge Irrtumswahrscheinlichkeit a Antwort
  • Hypothese Beide Sorten liefern gleiche Ertrge a
  • Aus der Symmetrie der Binomialverteilung folgt
  • Probe Nr Sorte I Sorte II
  • Einfache Nullhypothese zweiseitiger Signikanztest
  • Wie lautet der Ablehnungsbereich
  • Anzahl der weißen Kugeln in der Stichprobe
  • Stichprobenumfang n Irrtumswahrscheinlichkeit
  • Entscheidung Die Hypothese H wird abgelehnt beibehalten
  • Zusammengesetzte Nullhypothese einseitiger Signikanztest
  • Beide Arten von Tests heißen einseitige Tests
  • Approximation der Binomialverteilung
  • Nherungsformel von MoivreLaplace a
  • Ungleichung von Tschebysche
  • k n p n p p Seite A
  • p p n p p n n
  • p p n n n an da
  • Maximum n
  • Aufgaben zu Erwartungswert und Varianz
  • A P A
  • A in der ersten Durchfhrung u
  • A in der zweiten Durchfhrung A A u
  • E Z Zur zweiten Frage
  • Z Gewinn von Spieler II
  • Kein weiteres Spiel mehr mglich o
  • EUR EUR EUR EUR
  • Verlust Verlust Verlust Verlust
  • ersten Spiel zweiten Spiel dritten Spiel vierten Spiel
  • EUR Verlust Kein weiteres Spiel mehr mglich o
  • E E E
  • V E E
  • P P P
  • E E E E
  • yi P Y yi E Z
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y Y
  • P xi xj
  • P xi P xj
  • I k k
  • P x E gr N E gr
  • E gl E gr
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von xi
  • V E
  • a a a a a a a a
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y
  • i Ergebnis des iten Wurfs Letzte Anderung November
  • Fr den Annahmebereich folgt u
  • Bildverteilungen Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung von S
  • M sei das Minimum der gewrfelten Zahlen u
  • Angabe der Zhldichte von PM Sei l a
  • Verteilung von S M
  • PSM P S M
  • M min Bildverteilung
  • Das Ereignis S ist zum Beispiel
  • P S k Seite A
  • Wahrscheinlichkeitsraum P A B
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B Beispiel
  • P B A P B A P A
  • P A B C P A B
  • Anzahl der weißen Kugeln
  • Ai Im iten Zug eine weiße Kugel
  • Damit ergibt sich
  • P A P B A P A
  • hinter der nicht gewhlten a
  • Anhang B Klausuren
  • Klausur zur Vorlesung Stochastik I
  • Name Vorname Geburtsdatum Matrikelnummer
  • Nummer bearbeitet Punkte
  • Sommersemester Qual Stud Nachweis
  • Stochastik I Klausur Sommersemester
  • Aufgabe xP xP xP xP xP
  • ii von Zufallsvariablen an
  • Seite B Letzte Anderung November
  • Stochastik I Klausur Sommersemester
  • Fr ein x fest und sei u
  • c Es sei eine Zufallsvariable mit Verteilung
  • einer reellwertigen Zufallsvariablen
  • i Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable ii LebesgueDichte einer Verteilung
  • Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I
  • Aufgabe xP xP xP P
  • Aufgabe xP xP xP xP P
  • i die Gleichverteilung auf einer endlichen Menge
  • a die kontinuierliche Gleichverteilung
  • b die Unabhngigkeit einer Familie von Zufallsvariablen a
  • mit der TschebyscheUngleichung ab
  • i den Begri der Dichte einer Verteilung
  • ii den Begri einer reellwertigen Zufallsvariablen
  • Die Bearbeitung anderer Aufgabenteile wird nicht bewertet
  • Aufgabe P P P P
  • i kPermutationen mit Wiederholung einer nelementigen Menge
  • ii kPermutationen ohne Wiederholung einer nelementigen Menge
  • Aufgabe P P P P P P
  • Aufgabe P P P P P
  • a Zeigen Sie daß F eine Verteilungsfunktion ist
  • Es sei eine auf gleichverteilte Zufallsvariable
  • sin k stochastisch fr n u
  • i Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable
  • ii Unabhngigkeit einer Folge von Zufallsvariablen a
  • iii P S I mit P S I
  • c Geben Sie die Formel von Bayes an
  • mit P S I M
  • iii Den Erwartungswert und die Varianz von R
  • sin k fr n stochastisch u
  • Aufgabe P P P
  • ii Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariable
  • i Geben Sie den Ubergangsgraphen an
  • c Formulieren Sie den Satz von Markov
  • Bemerkungen Quadratisch Irrfahrt Symmetrische einfach Irrtumswahrscheinlichkeit A A
  • Algebra Produktmaß Punktmaß

Vorschau

Stochastik & Analysis

Fachschaft

Mathematik

Uni Dortmund

Skriptum nach einer Vorlesung von Hans-Peter Scheffler ¨ Letzte Anderung: 28. November 2002

A Gesetzt mit L TE und LY

EN

TW

Stochastik I

Wahrscheinlichkeitsrechnung

UR F

Lehrstuhl IV

 ¡

Vorwort:

TW

Dieses Script wurde in usammenarbeit der Fachschaften Mathematik & WirtschaftsMathematik mit dem Lehrstuhl IV erarbeitet. Es basiert auf der Vorlesung Stochastik I, gelesen von H-Doz. Dr. H.-P. Scheffler in den Sommersemestern 1998, 2000, 2001 und den usatzubungen f¨r Lehramt Sek. II (Sommersemester u ¨ 2000) gehalten von Dipl. Math. Sonja Menges. u den jeweiligen Kapiteln sind die Aufgaben ¨ der Ubungszettel (Sommersemester 2000) aufgeteilt worden. Die L¨sungen der Aufgaben wero den nicht ins Netz gestellt, um den zuk¨nftigen u ¨ Ubungsbetrieb Stochastik I nicht uberfl¨ssig zu u ¨ machen. Die usatzveranstaltung f¨r das Lehru amt – Sek. II bildet den Anhang A. Im Anhang B befinden sich Kopien der in den drei Semestern gestellten Klausuren, ihre L¨sungen sind o als Kopiervorlage in der Fachschaft erh¨ltlich. a In Verweisen werden die Nummern der S¨tze, a Definitionen, … in runden Klammern gegeben, z.B. (1.10) oder (a). Ich habe versucht, alles richtig wiederzugeben, es ist jedoch wahrscheinlich“, daß ich Fehler ” gemacht habe. Deshalb wendet euch bitte mit Fehlermeldungen, Anregungen zuerst an mich: stk@fsmath.mathematik.uni-dortmund.de

Die Verwendung des ß” ist in voller Absicht ge” schehen, also kein Fehler. Fehlermeldungen bitte so detailliert wie m¨glich. o Bei den oben genannten Mitarbeitern des Lehrstuhls IV wollen wir uns im Namen der Fachschaft recht herzlich f¨r ihre Unterst¨tzung beu u danken. Ferner gilt unser Dank Thorsten Camps f¨r seine tatkr¨ftige Mithilfe. u a Der Setzer

EN

S K

T

UR F

Hans-Peter Scheffler Sonja Menges

Inhaltsverzeichnis

Lehrstuhl IV

Inhaltsverzeichnis

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0. Kapitel: Motivation 0.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Kapitel: Die σ-Algebra der Ereignisse und W.-Maße 1.1 Definition (Stichprobenraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Beispiele (wiederholtes/ zusammengesetztes Experiment) 1.4 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Definition (σ-Algebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Beispiel (zwei Experimente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Beispiel (Die Borel’sche σ-Algebra auf R) . . . . . . . . . . 1.17 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18 Beispiel (Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsraum) . . . . . 1.19 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.21 Anwendung (n-faches W¨rfeln) . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.22 Definition ¨hldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.24 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.25 Beispiel (Kontinuierliche Gleichverteilung auf [0, 1]) . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Kapitel: Der Laplace’sche W.-Raum und Kombinatorik 2.1 Definition (Permutation/ Kombination) . . . . . . . . . . . 2.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Satz (Sylvester, Poincar´ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Satz (Ein-Ausschluß-Prinzip) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Beispiele (Ein-Ausschluß-Prinzip) . . . . . . . . . . . . . .

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