Stochastik für Informatiker und Regelschullehrer

  • Titel: Stochastik für Informatiker und Regelschullehrer
  • Organisation: LUG JENA
  • Seitenzahl: 27

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Inhalt

  • Inhaltsverzeichnis
  • 1 Wahrscheinlichkeiten
  • 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume
  • 1.2 Typen von Wahrscheinlichkeitsmaßen
  • 1.3 Die wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • 1.4 Die wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • 1.5 Verteilungsfunktion
  • 1.6 Bedingte Verteilungen
  • 1.7 Unabhängigkeit von Ereignissen
  • 2 Zufallsvariable
  • 2.1 Definition und Verteilungsgesetz
  • 2.2 Zufällige Vektoren und Unabhängigkeit zufälliger Größen
  • 2.3 Rechnen mit zufälligen Größen
  • 2.4 Erwartungswert
  • 2.5 Varianz und Kovarianz
  • Nutzungsbedingungen
  • Index

Vorschau

Eine Auswahl wichtiger Definitionen und Aussagen zur Vorlesung »Stochastik für Informatiker und Regelschullehrer«

Werner Linde WS 2008/09

Inhaltsverzeichnis

1 Wahrscheinlichkeiten 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Typen von Wahrscheinlichkeitsmaßen . . . . . . . . . . . 1.3 Die wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1.4 Die wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen . 1.5 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Unabhängigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . 2 ufallsvariable 2.1 Definition und Verteilungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . 2.2 ufällige Vektoren und Unabhängigkeit zufälliger Größen 2.3 Rechnen mit zufälligen Größen . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nutzungsbedingungen 2 . 2 . 3 . 5 . 7 . 8 . 10 . 11 12 12 14 17 19 21 25

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1 Wahrscheinlichkeiten

1 Wahrscheinlichkeiten

1.1 Wahrscheinlichkeitsräume

1.1.1 Grundraum Der Grundraum (meist mit Ω bezeichnet) ist eine Menge, die mindestens alle bei einem stochastischen Versuch oder Vorgang auftretenden Ergebnisse enthält. Die Teilmengen von Ω heißen Ereignisse, die einpunktigen Teilmengen nennt man Elementarereignisse.

1.1.2 Eintreten eines Ereignisses Ein Ereignis A ⊆ Ω tritt ein, wenn das beim Versuch oder dem Vorgang beobachtete zufällige Ergebnis in der Menge A liegt.

1.1.3 σ-Algebra Auf dem Grundraum Ω wird ein System A ⊆ P(Ω) von Ereignissen ausgezeichnet, denen man in sinnvoller Weise die Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zuordnen kann. Aus naheliegenden Gründen fordert man, dass A eine σ-Algebra bildet, d. h. A erfüllt folgende Eigenschaften: (i) ∅ ∈ A. (ii) Aus A ∈ A folgt Ac ∈ A. (iii) A1 , A2 , . . . ∈ A impliziert

∞ j=1 Aj

∈ A.

Ist Ω höchstens abzählbar unendlich, so kann man als σ-Algebra stets die Potenzmenge P(Ω) von Ω nehmen.

1.1.4 Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß (oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung) P ist eine Abbildung von A nach [0,1], die jedem Ereignis A ∈ A die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens zuordnet und folgende Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt P(∅) = 0 und P(Ω) = 1. (ii) P ist σ-additiv, d. h. für disjunkte Aj ∈ A folgt

∞ ∞

P

j=1

Aj =

j=1

P(Aj ) .


1.2 Typen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 1.1.5 Wahrscheinlichkeitsraum Das Tripel (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. ufällige Experimente werden durch geeignete Wahrscheinlichkeitsräume beschrieben. 1.1.6 Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen (i) Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ist auch endlich additiv, d. h. sind A1 , . . . , An aus A disjunkt, so folgt

n n

P

j=1

Aj =

j=1

P(Aj ) .

(ii) Wahrscheinlichkeitsmaße sind monoton, d. h. gilt für A, B ∈ A die Inklusion A ⊆ B, so impliziert dies P(A) ≤ P(B). (iii) Für A, B ∈ A mit A ⊆ B folgt P(B A) = P(B) − P(A). Insbesondere ergibt sich hieraus P(Ac ) = P(Ω A) = 1 − P(A) für A ∈ A. (iv) Wahrscheinlichkeitsmaße sind stetig von oben, d. h. gilt für Aj ∈ A die Aussage A1 ⊇ A2 ⊇ · · ·, so folgt

P

j=1

Aj = lim P(Aj ) .

j→∞

(v) Wahrscheinlichkeitsmaße sind auch stetig von unten, d. h. gilt für Aj ∈ A die Aussage A1 ⊆ A2 ⊆ · · ·, so folgt

P

j=1

Aj = lim P(Aj ) .

j→∞

1.2 Typen von Wahrscheinlichkeitsmaßen

1.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf höchstens abzählbar unendlichen Grundräumen Bei einem Experiment seien höchstens abzählbar unendlich viele Versuchsergebnisse möglich. Dann kann man entweder Ω = {ω1 , . . . , ωN } oder aber Ω = {ω1 , ω2 , . . . } wählen. Als σ-Algebra nimmt man in diesen Fällen stets die Potenzmenge P(Ω). Setzt man pi := P({ωi }) , 1≤i≤N bzw. i = 1,2, . . . , (1)

dann erhält man ahlen mit den Eigenschaften (i) pi ≥ 0 und