Mathematik für Ingenieure

• Titel: Mathematik für Ingenieure
• Organisation: UNI HANNOVER
• Seitenzahl: 496

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Inhalt

• K Steens Th Wirth
• Mathematik für Ingenieure
• Institut für Mathematik Universität Hannover
• Zahlen Tupel und Zahlen nTupel Funktionen Funktionen
• A Lösungen zu den Aufgaben Literaturverzeichnis Index
• Zahlen Tupel und Funktionen
• Q Also N Z Q
• Q Annahme p p q gekürzt q
• Rn x xn x xn R
• Beispiel Tupel Es ist
• Kapitel Zahlen Tupel und Funktionen
• ist keine Funktion Abbildung
• ist eine Funktion
• R x y y x R s
• s r Gradmaß Bogenmaß
• Lineare Algebra im Rn
• Vektoren im Rn
• Basen des Rn
• Kapitel Lineare Algebra im Rn
• a b linear abhängig
• c b c E a b linear unabhängig
• linear abhängig in Ebene Abbildung
•  Basen des Rn
• Die kanonische Basis des Rn
• Satz Sind e e en
•  Zu Ist x x x x so gilt
• Das Skalarprodukt im Rn
• Ist x Rn so heißt x
• a b a b an bn
• a b an bn a b
• Multiplikation mit y y y ergibt
• z y x Abbildung
• ist nach mit n
• cos Dieser Winkel wird mit
• x y x y cos x y
• Orthogonale Zerlegung von a längs b falls b
• siehe Abbildung Setze
• ab ab Es ist ab
• orthogonale Projektion von a auf b
• Arbeit Kraft Weg
• A AB B BA Abbildung
• Kosinussatz der ebenen Trigonometrie
•  Das Skalarprodukt im Rn
• C A Abbildung B
• B km See A km
• Additionstheoreme siehe Abbildung
• Das vektorielle Produkt im R
• Gesucht ist eine Multiplikation
• b P a Abbildung
• Beweis P a b sin a b cos
• und aus folgt a a a a
• a b b b b
•  Das vektorielle Produkt im R
• Anwendungen des Vektorprodukts
• Flächeninhalt eines Parallelogramms in der Ebene
• R b b a a R Abbildung
• Spatprodukt und Determinanten
• Denition Sind a b c R so heißt
• Inhalt eines Tetraeders
• d ba c b Abbildung da
•  Geraden und Ebenen im R
• Geraden und Ebenen im R
• a b g a Abbildung h
• Gerade als Schnitt zweier Ebenen
• s s s
• Die Konstruktion der komplexen Zahlen
• x z a ib Abbildung
• b Man skizziere die Lösungsmengen i Rez
• Darstellung in Polarkoordinaten siehe Abbildung
• x r cos y r sin r z
• iy z x iy r x Abbildung
• arctanyx arctanyx arctanyx r
• x iy rcos i sin x y
• icos sin sin cos
• Cartesische Darstellung Polarkoordinatendarstellung Eulersche Darstellung
• Das Ziehen von Wurzeln
• Wurzeln der Gleichung z n heißen nte Einheitswurzeln
• z ei z i
• i z i Bestimmen
• b die Polarkoordinatendarstellungen von z z z z
• Lineare Abbildungen und Matrizen
•  Lineare Abbildungen und Matrizen
• z zn w wn
• Kapitel Lineare Algebra
•  d h Oenbar ist
• Wegen und folgt Also n
• a a b b a a b b
• Multiplikation zweier Matrizen
•  Lineare Abbildungen und Matrizen a x xm am
• i bi Da b bn l u folgt
• der Koordinatenvektor von x bzgl B
• B coB Lx MB L coB x
• In anderen Worten Ist x
• B Zur Konstruktion von MB L
• Daher gilt nach
• B coB x MB id coB x
• so gilt somit
• x ai x ain xn i
• bk ak b ank b n
• Es ist Le Le
• also u v
• d h coKB La im Einklang mit
• cos sin sin cos
• B e e mit e e
• Lösung a coB x
• x und es gilt x x x
• B B MB id coB x MB id
• B i Bestimmung von MB id
•  d h coB e also
• coB e x x
• b b b b also ist
• coB b coB b
• und sind äquivalent es gilt
• B coB T Lx MB T coB Lx
• nach Satz Aus folgt
• und somit gilt
•  Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiel
• B MB idV En
• Aus folgt mit
• Spiegelung an einer Geraden
• Sx x x Sx
• a a a a a a a a
• a a a a a a a a
• a a a a a a
• KB b Berechnen Sie MKB s mittels a
• KB Somit folgt MKB s aat E
• Konkret in Koordinaten a a a
• a a a a a a
• ein lineares Gleichungssystem Die Matrix a am
• A An b br
• i ik Aik i ik Aik
• ik Aik ik Aik
• Ai Ak x bi bk
•  Lineare Gleichungssysteme somit
• Hieraus folgt nun umgekehrt
• a x an xn b
• b b b i ite Zeile
• ai n bi amn bm
•  Lineare Gleichungssysteme Beispiel
• x x x x x x x
• Der Lösungsraum wird von den Vektoren
• für r s R ist Lösung c
• a a a a a a
• a a a a a a
• Fall a Dann ist x
• a x a a x
• ix ix i
• Berechnung der inversen Matrix von A
•  nreihige Determinanten und die Cramersche Regel
• nreihige Determinanten und die Cramersche Regel
• Bemerkungen Es ist det
• das vorzeichenbehaftete Volumen des von
•  Ist Ai Bi Ci so ist
• Ist K und Ai Bi so ist
• ik aik detAik
• detb A An det
• xk Ak A An xk detAk A An
• x detA An x det A
• detb A An det A
• LGS eindeutig lösbar
• det x det
•  Aufgabe Es seien
• cos sin sin cos
• Polynome und rationale Funktionen
•  Polynome a b
• ai bk xik alk bk xl
• Kapitel Polynome und rationale Funktionen
• Lemma Identitätssatz Sind
• ci xi c cn K
• und setzt man am an so ist
• gx bm xm b x b bm
• Teilen mit Rest
• Zerlegbarkeit von Polynomen über R
• Satz Ist pz
• Koezientenvergleich ac ad bc bd
• Dies in eingesetzt ergibt ad
• quadratisches Polynom mit reellen Koezienten
• lin Fakt quadr Fakt
• p a a q
• x x Zerlegung in C
• x ix i x i Zerlegung in R
• Die Rechnung wird nach durchgeführt
• Beispiel Man interpoliere bzw zusätzlich
• Also ist px gx x x x x
• x x x x x
• Rationale Funktionen Partialbruchzerlegung
• p q px x K qx qx
• eine rationale Funktion über K
•  Beispiel f x
• Kapitel Polynome und rationale Funktionen für x R
• ist Asymptote da
• x x x x x
•  Rationale Funktionen Partialbruchzerlegung
• x x px qx n
• Satz Partialbruchzerlegung Ist on über R ist
• eine echt gebrochene rationale Funktix aj b j
• Koezientenvergleich px x qx x x x x
• x Ax x Bx Cx Dx
• x x x x x x x
• B auf die linke Seite
• A B Ansatz x x Zuhaltemethode A B
• Man erhält A B C
• Fakultät und Binomialkoezienten
• die Anzahl der kelementigen
•  Ersetze k durch k n n k k
• Pascalsches Dreieck n nk
• a ab ab b
• b a b ab b b
• n nk k a b k
• Es ergibt sich somit für das Binom
• Übung Man beweise
• Lösung Binomische Formel
• n nk k b a k
• x x x x x
•  Fakultät und Binomialkoezienten x x x
• Aufgabe Zeigen Sie dass k
• Folgen Reihen Stetigkeit
• n gerade n ungerade
•  mittels und n Lösung an a
• Kapitel Folgen Reihen Stetigkeit
• so gilt für n n
• lim ak bk i
• n n siehe Übung n
• n xn mit xn Dann ist
•  Für a ist
• folgt limn a und somit ist
• n a na n n a a
• Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen
• lim bn an lim an lim bn
• Beweis Nach Satz ist
• lim Ak g lim Bk
• an lim an bn lim bn
• für alle n n und
• an C für alle n N
•  Wegen b existiert ein Cb mit
• Die Zahl e e Euler
• Für n sei an
•  Beispiel Die harmonische Reihe
• Kapitel Folgen Reihen Stetigkeit ist divergent
• n n n
• n n n
• k k n n n
• konvergent so ist limn an d h
• lim sn a und lim sn a
• konvergiert für q und divergiert
• CauchyKriterium und Rechengesetze
• Wählt man n so groß dass
• Reihen komplexer Zahlen und ist
• bi sn s sn s n n
• sn s sn s n n
• bk bn an bn
• bn konvergente Reihen komplexer Zah
• n n k an bk n an
• Denition Eine Reihe n an konvergent ist
• komplexer Zahlen heißt absolut konvergent wenn
• n n an n n an
• eine reelle Reihe mit
• ai für alle n m n
• Nach dem CauchyKriterium ist Es gilt nach Satz
• Beweis Setze sn mit
• an an k
• ai b ai b a bi a bi
• k ak k bk k
• xki xi k xk xk Da k xk
• im Bereich x
• Konvergenzsätze für Reihen
• Reihen komplexer Zahlen
• ai an bn Reihen komplexer Zahlen
• Nach dem CauchyKriterium ist
• für fast alle n N so ist
• an an an an an an
• so ist so ist
• an absolut konvergent an divergent
• so liefert das Kriterium keine Entscheidung
• Beweis Zu Es sei g limn
• existiert ein n N mit
• für alle n n d h mit q
• divergent n n n n n n
• ist divergent n n n n
• konvergent n n n n n n
• und zeigen dass im Falle limn
• keine Entscheidung möglich ist
• falls n gerade falls n ungerade
• ii n ungerade
• absolut konvergent xn n x n xn n
• eine Nullfolge für jedes x R
• an für fast alle n so ist
• an so konvergiert an so ist
• an so ist keine Entscheidung möglich
• Also absolute Konvergenz
• Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
• n N ist eine abgeschlossene Menge
• lim f yn u
• ii Entsprechend deniert man limxx f x u
• lim f an lim
• f x gx limxx f x limxx gx
• falls limxx gx
•  für x Damit ist
• Lösung Skizze von y arctan x x
• in x stetig ergänzbar
• folgt die Behauptung
•  Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
• lim f bn f y
• lim xn yn lim f xn f yn
• Beispiel Die Abbildung n yn n so ist
• lim n n lim n
•  b Eine Folge an sei deniert durch a
• k k k k k k
• Aufgabe Man untersuche auf Konvergenz a
• k k k k k k
• kk k k k k kk
• Aufgabe Berechnen Sie das CauchyProdukt der Reihen
• Dierentiation und Integration
• und ist limxx
• f x f x x x
• dy f x Abbildung dx
• f x f x x x
• Ferner ist f x
•  also lim Somit gilt
• Kapitel Dierentiation und Integration
• Daher setze iii Aus folgt
• und aus limxx
• und somit ist
• Ist f x so ist limxx
• f x gx f x x x
• minimal und daher ist
• n lim n n x x
• f gf g gx g
• xn nxn nxnn nxn xn
• f xf x xx x f
• f xf x f yx
• yy f f yf x f yx
• wobei im rechten Summanden Lemma verwendet wurde
• Also ist y n y n n
• arccos x x
• y x cot x
• c y arctan x
• x xx x x
• ist eine gute Wahl Die Ablei
• Mittelwertsätze der Dierentialrechnung
• Daher ist f x
•  Iterative Anwendung liefert
• x x n Oensichtlich ist
• f xn f xn
• f lim xn f f lim xn f
• Setzt man x sin so ist x und
• f b f a f g gb ga
• f x g x f x gx
• so existiert auch
• Beispiele i limx ii limx iii limx
• cos x x ex ex sin x
•  Entsprechendes gilt für
• f x x gx lim
• denn mit der Substitution y
• f y y g y y
• f x x g x
• lim f x lim gx
• so existiert auch limxx
• für alle x x x Also ist
• für alle x x x Beispiele i
• tan x lim tan x x
• cos x cos x
• Das bestimmte Integral
• Z x x xm
• m i sup f xi xi xi
• f x dx f x dx
• f xi f xi xi xi
• ba f b f a n
• für alle i mit i m
• Denition Ist a b und existiert
• b a f x dx a b
•  Das bestimmte Integral Es sei
• c a f x dx c
• Ist a b so ist
• f x dx existiert
• so ist L eine lineare Abbildung d h
• und ist x y so ist
• lim F x F y
• dierenzierbar und G x x
•  Das unbestimmte Integral
• y f Abbildung x x y F
• Das unbestimmte Integral
• gx dx Gx d Dann ist
• F x c Gx d f x gx
• Beispiel für Hellseher
•  Substitution t ist x x dx x x
• Kapitel Dierentiation und Integration t gt g t
• dx g t dt Also
• dt g t t c g
• x x c
• cos z dz x
• sin z c x sin x c
• Der Hauptsatz der Dierential und Integralrechnung
• f x da f stetig
• f x dx F x F x
• sin x dx cos x
• b a f xgx dx
• g b f gxg x dx g a
• f gxg x dx F gb F ga
• cos x dx sin x
• sin x cos x dx sin x
• sin x cos x dx I
• limc x c limc ln xc
• limc x c limc ln x c
• limc c limc ln c
• f x f x dx lim
• f t dt für alle i m
• Der natürliche Logarithmus
• Der natürliche Logarithmus ln R ist deniert durch
• ln Also ist ln a ln a b
• ln a ln ln a ln b b
• Es ist ln ar
• dx ln x ln x x
• lim ln an lim ln
• lim n ln n n
• dx lnx c x
• du g lnu c g lngx c
• von y gx bei der Ände
• e Da ln stetig folgt limn ln ln
• exp x y ln ln Abbildung
• Die allgemeine Exponentialfunktion
• Der allgemeine Logarithmus
• ln x ln a ln a
• Die allgemeine Potenzfunktion
• Lemma sinhx sinhx sinh streng monoton wachsend
• cotanh x tanh x
• lim cotanh x lim
• ex ex lim x x x e e
• cotanh x sinh x cotanh x
• Integration rationaler Funktionen
• sin x cos x x x
• Aufgabe Berechnen Sie
• mittels Unter oder Obersummen
•  Aufgabe Es sei f x
• Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von
• Aufgabe a Berechnen Sie
• cos x dx sin x
• stetig ergänzbar ist
• Aufgabe Bestimmen Sie
• loga x für x R
• für alle n N
• fn yn fn x
• für alle n n
• lim f yn f x
• f x lim fn x n
• lim fn t dt lim
• f x f a Dierentiation nach x liefert
• gx lim fn x f x n n
•  Der Begri der Potenzreihe
• konvergent so ist die Funktionenreihe
• für alle n n Also ist zD
• Der Begri der Potenzreihe
• xn n x n xn
• ist die harmonische Reihe und somit divergent
• Fall x Die Reihe
• ist nach Leibniz konvergent
• an x x n konvergent
• über K D beschränkt D unbeschränkt
• sup x x x D
• eine Potenzreihe über K mit Konvergenzradius
• x n divergent
• Cn q n lim q n n Cnq
• x n eine Potenzreihe über K und ist
• Ist a so ist der Konvergenzradius R a
• Entsprechendes gilt für limn Beweis Zu Es ist
• an x x n x x lim
• an x x n x x lim
• x n x n dt
• x n x n dt
• n n an t x dt x a
• Die Potenzreihen radius R
• haben den Konvergenz
• nan x x x x n
• an t x n dt an t x
• haben nach der Überlegung vergenzradius
• k nx x kn n
• lim arctan x arctan
• du u u u u für x
• x x f x x
• x tn f n t dt
• f n x x n n
• f t dt f x
• t x f t dt
• n f x x x n n
• n f x x x n n n
• und der Grenzübergang N liefert die Behauptung
• f x x x n n
• ex so ist ex n Q
• f n x f n x
• Setze t Es ist limt x lHospital ergibt
• Die Reihenentwicklung der eFunktion
• xn xn n n ist
• Reihenentwicklungen der elementaren Funktionen
• Die Reihenentwicklung von sin x
• lim Rn x xn n
• Die Reihenentwicklung von cos x
• Wie oben erhält man cos x
• Die Reihenentwicklung von tan x
• eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius R und
•  Reihenentwicklungen der elementaren Funktionen Dann ist
• Nach Satz ist
• x tan x x x x
• Die Reihenentwicklung von cotan x
• an bn ixn eix
• n gerade sonst
• n gerade n ungerade
• ix e eix i
• folgende Vermutung naheliegend
• Beweis Das Quotientenkriterium liefert
• kxk k k k xk
• kx k x x k k k
• k k k k k k
• kxk k kxk k
• Setzt man hx
• g x x gx x x
• Kapitel Potenzreihen k x x x
• x x Beispiel
• R x x x
• Restglied nach Lagrange
• in x bis zum
• Kurven im Rm
• xi t xi t i t t
•  Kurven im Rm
• Die Bogenlänge ist angenähert
• Die Gleichung der Tangente in t lautet
• T t T t st st
• Die Bogenlänge der Ellipse
• a sin t b cos t dt
• und der Konvergenz von
• berechnet sich durch wiederholte partielle Integration zu
• Durch Einsetzen dieser Ausdrücke ergibt sich U a
• Bogenlänge des Kreises
• r sin t r cos t dt r
• st rt s r Kreisumfang
• Bogenlänge der gemeinen Zykloide r R zwischen und
• Wegen cos t sin
• Die Bogenlänge als Parameter
• und somit ist d h R
• b c c Abbildung
• c b b c c c
• V Orthonormalbasis von V c
•  Quadriken Orthonormalbasis von V Oenbar ist
• eine symmetrische Matrix
• so ist coB a x Also ist
• B MB L coB a coB La x
• Daher ist a V und La
• wobei n die Eigenwerte von A sind
• Es ist a x xn an
• aik aki xi xk
• Algorithmus zur Bestimmung der Normalform einer Quadrik
• Regel det B t Regel
• y n yn y n yn
• i yi i yi i yi
• z r zr r zr n zn
• ist auf Normalform zu bringen
• Nullstellen von pA pA
• Eigenwerte von A einfach fach
• y y y y y y
•  Quadriken Setzt man z y z y
• z y so erhält man
• Eigenraum V A Ex
• x x x x x V s sR
• x x y B y x x
• negativ denit falls QA x für alle x
• x x x x
• positiv denit positiv semidenit
•  Quadriken ergibt ac ac
• Beweis Es ist
• k x bi x bk bt bk i
• Ferner ist QA b Es ist
• k x bk QA x
• Die Bewegung eines starren Körpers im Raum
• n mi yi i n
• Nun setzen wir
• mi x zi i i
• mi xi zi mi yi zi
• i n mi x yi i i
• yx xy zx xz
•  Quadriken und erhalten
• Setzt man in ein so erhält man
• mvs vs mvs
•  Dierentiation reellwertiger Funktionen
• Dierentiation reellwertiger Funktionen
• Mit anderen Worten der relative Fehler
• x xx x x lim xx x lim
• und somit ist nach
• für n Dann yn und
• lim f yn lim
• lim f zn lim
• n lim n n n n
• Also ist limh
• x hei x hei lim h h h
• ai ergibt sich zusammenfassend
• f i xi x i xi
• x y sonst
• fx x y Aus Symmetriegründen ist
• x y z x yz x y z
• z zx y z
• Übung Ist f x y ln
• Lösung fx fxx
• x h y k R x y
• g y k g y g y kk
• Der relative Fehler
•  Dierentiation reellwertiger Funktionen und
• Wegen lim ist
• PSfrag Dierentiation reellwertiger Funktionen
• WbT x Abbildung R
• D r Abbildung x R
• h x x h Abbildung
• g g und Rn
• g g gn Rn n für ein
• h f x y x y
• h h h Also ist
• f x h y h
• für ein Ferner ist
• Rn x h y h h h n
• f x y Rn x h y h
• yk b b xk Min
• Die Abbildung f
• R sei deniert durch
• f b b b f b b b
• K k yk K k yk
• b b xk b b xk xk
• yk b K b Bezeichnet y
• Setzt man I in ein so ist
• P y K xk K k k
• xk yk xk yk K x xk k
• Somit gilt für hinreichend kleine reelle Zahlen
•  Schritt det Hf Es ist
• fxx y fyx y xy Wegen det Hf
• fxy y xy fyy y x x
• fxy xyex fyx fyy ex Daher ist
• fx x x xy ex fy yex
• x x xy y
• und fxx ist eine lokale Maximalstelle det Hf
• und fxx zeigen ist eine lokale Maximalstelle
• Dierentiation vektorwertiger Funktionen
• KB n MKB m L
• Also ist für i m
• Also ist die ite Zeile von
• f x xk fm xk x
• n fn k xk y hk
• f f y h y hn x xn
• x x dx dy y y y
• KB MKB Lx y ym t
•  Dierentiation vektorwertiger Funktionen und somit ist yi
• Also ergibt sich mit der Schwarzschen Ungleichung
• ai ain x xn
• ai ain x xn x k
•  Beweis Es sei
• Df x h h h h lim
• Implizit denierte Funktionen
• sei die folgende Matrix invertierbar
• Folglich ist Dhx
•  Implizit denierte Funktionen
• gx y x y a b
• gx y gy x y
• y b gx y y gx y
• x y x x y y a b
• Dp f x Df U x
• grad f x grad hTlokal x DTlokal x
• also nach Satz
• Das NewtonVerfahren im Rn
• a A b b c B ab
• und so ergibt sich das lineare Gleichungssystem
• Lokale Extremwerte mit Nebenbedingungen
• M x D gx
•  Lokale Extremwerte mit Nebenbedingungen
• grad f x y f
• gx y Abbildung
• relatives Maximum unter der Nebenbedingung gx y
• Rnm x Abbildung
• f x x y f x x y
• g x x y x y
• Setzt man m
• f y x y g y
• Ferner folgt aus
• und nach Voraussetzung ist gx y Folglich ist
• Fall y x Aus folgt
• x d h x
• Also ist det HF
• Man sieht dass Korollar und Lemma nicht weiterhelfen
• Dierentiation komplexwertiger Funktionen
• Es ist mit z x iy
• ux y a b vx y b a
• x x y y x y x y
• ist limzz lim
• und somit ist limzz
• xyx y x y x y
• Ferner ist mit a b
• xyx y x y x y lim
•  Dierentiation komplexwertiger Funktionen
• Aufgabe Die Rotationsenergie eines Trägheitstensor
• Beispiele und Begrie
•  Beispiele und Begrie
• R tc L Re R tc L Re
• Kapitel Gewöhnliche Dierentialgleichungen
• Richtungsfelder von Dierentialgleichungen Ordnung
•  Gewöhnliche Dierentialgleichungen erster Ordnung
• Gewöhnliche Dierentialgleichungen erster Ordnung
• also ist y x c cR allgemeine Lösung
• y ce x ce y
• Die Substitution z
• Lösung von y f
• Fall D a b a b
• ax by c a x b y c
• v a bu v a b u
• y y Somit ist Ähnlichkeitsdierentialgleichung
• Fall D Dann ist ab ba
• überführt die Dierentialgleichung mit d
• Ist ebenfalls b so ist f
• Lineare Dierentialgleichung Ordnung
• ys x c xe x cxxe x
• xe x dx e x D
• Die Bernoullische Dierentialgleichung
• y f xy gxy r r
• Die Clairautsche Dierentialgleichung
• Also ist y oder x dg dy
• y x Abbildung
• y x x x x
• y als Parameter
•  Näherungslösungen für Dierentialgleichungen erster Ordnung
• Näherungslösungen für Dierentialgleichungen erster Ordnung
• ai i x x i y y i
• i i i i sonst
•  zum Erfolg Es ist
• y x a a x a x
• Einige Typen nichtlinearer Dierentialgleichungen höherer Ordnung
• Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor
• F x y y y n
• H S G V x x x
• s x V x x x
• tan ist V x H tan Hy x
• y a y Setze z y Dann ist
• y kommt nicht vor
• cosh ax c a
• y x dx l Länge des Seils
• Mit Hilfe von berechnet sich zu
• cosh ax c dx
• sinh ax c x l x a
• und somit ist l y y
• sinh u x x u
• Die unabhängige Veränderliche x kommt nicht explizit vor
• y x Erneute Dierentiation ergibt y x
• Lineare Dierentialgleichungssysteme Ordnung und lineare Dierentialgleichungen nter Ordnung
• für alle x I und so heißt
•  Lineare Dierentialgleichungssysteme Ordnung
• Ferner sei x I Angenommen
• und c ck Kk Setze
• i n und setze Dann ist
• Ax bx Ax bx Ax Ax
• Ax bx Ax Ax bx Ax bx
• Beispiel Gesucht sind die Lösungen von
• y y y y x
• ist äquivalent zu y y
• cos x sin x sin x cos x
• cos t sin t sin t cos t
• t sin t t cos t
• Die allgemeine Lösung lautet x
• n x x n n
• von Null verschieden ist Beweis Die Dierentialgleichung
• yn a xy a xy an xyn bx
• y y y y yi yi
• yn yn a a a
• a a an an
• n c n c n n
• n n cn n n cn
•  Ansatz ys c xx c xx
• eine Lösung der Dierentialgleichung
•  Wegen u z ergibt sich z
• cos x x cos x
• x sin x cos x
• Lineare Dierentialgleichungen mit konstanten Koezienten
• Dabei sei p ein reelles Polynom und C
• a Homogene Dierentialgleichung Ausschaltvorgang Die charakteristische Gleichung ist
• R Also ist L L L R C
• I c e t c e t
• b mit tan a also
• Homogene lineare Systeme Ordnung mit konstanten Koezienten
•  Homogene lineare Systeme Ordnung mit konst Koezienten
• z z z z zn n zn
•  Nach I V ist
• i i i
• Weitere Eigenvektoren sind
• Beispiel A ist diagonalisierbar Pendel
• x mg Abbildung
• w k k Aus w k k folgt
• w k k w k
• k x k y iw u
• w k w x k y
• k x k y k x k y
• Eigenwerte detA E
• et ist eine Lösung von y Ay
• A Eb c A Ec
• Nun lösen wir das lineare Gleichungssystem
• Daher ist t
• Eine Iteration dieses Gedankens liefert die Behauptung
• ki ist il akk ki
• und Lemma liefert für S AS El Wegen
• Kapitel Gewöhnliche Dierentialgleichungen x x sin x
• y und berechnen Sie a a a
• Integration im Rn
• Bereichsintegrale im R
• Denition Ist D Rn eine Menge so sei
• stückweise regulärer Rand
•  Bereichsintegrale im R Sk M
• innerer Inhalt von M äußerer Inhalt von M
• Fa M lim Sk M
• Kapitel Integration im Rn
• xi yi Abbildung
•  Bereichsintegrale im R der maximalen Durchmesser
• xi x Abbildung
• f xi yi xi yi
• Der eindeutig bestimmte Grenzwert wird mit f dB
• B B B Abbildung
• f dB f x y F B
• Die Auswertung der Bereichsintegrale
• Nach Abbildung ist das Volumen der Scheibe
• f xi y dy x
• Der Grenzübergang x liefert
•  Bereichsintegrale im R
• b Normalbereich bzgl der yAchse
• Normalbereich bzgl der xAchse
• y R R B R x Abbildung R
• x y dy dx
• x x dx x x
• y y dy y y y dy y
• y B T v v uLinie T P
• v P u u u u Abbildung
• x y du dv u v
• f xi yk F Bik f T det
• f T ui vk det
• T B B Koordinatentransformation f B R stetig
• x y du dv u v
• dr d Abbildung
• T u v u v u vt
• Dann ist detDT uv det und xy dB
• u vu v dv du
• u uv v dv du
• dB schreibt man
• B y x Abbildung
• x dx lnx x x
• ln ln ln
•  Beispiel Es sei
• r dr d r d dB
• Flächeninhalt des Kreises mit Radius R ist R
•  Parameterintegrale F ist stetig d h
• b a c d b d b
• f x y f x y
• f x y f x y
•  Beweis Setze F x u v
• fx dy Warum ist Fx stetig
• fx x u tv uv u dt
• und somit ist Fx x gx hx
• Nun folgt alles
• Der Grenzübergang V liefert das Bereichsintegral f dB
• Berechnung von Bereichsintegralen im R
• b x Abbildung
• y x y x Abbildung
• Es ist vergleiche die Abbildungen
• f x y z dz yx
• f x y z dz dy x
• x b a x x x xy xy
• f x y z dz dy dx
• u u u uv uv
• r sin cos r sin sin
• P r y r sin x Abbildung
• f T detDT r dB
• r r sin d d dr
• r cos d dr
• r sin dr d d
• r y x Abbildung
• g x f x dx
•  Aus und folgt
• Inhalt einer Fläche
• x y z v v v
•  Es ist siehe Abbildung S
• S B fx fy dx dy
•  Oberächenintegrale und somit ist
• Daher ist dS
• S B r zr z dr d
• R sin dB R
• sin d R cos
• xt xt yt d dt
• xt x t z t dt
• Aus und folgt sx L
• ein Oberächenintegral Art geschrieben f dS
• R sin R sin d d R
• Es ist dx x
• Wir nehmen const an Nach dem Kosinussatz ist
• dS dS z l r y
• l R Rl cos
• R sin d d r
• Wurzeln wegsubstituieren u l R Rl cos R
• rt m Abbildung rt
•  Der Grenzübergang mi führt zu Lt
• x y dx dy dz
• r r dr d dz
•  Oberächenintegrale Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders
• R R dz d R H
• B A Abbildung
• n n mi ri i n i n
• P m P i pi mi
• s R A Mg Abbildung
• und ist Z ein Hohlzylinder so ist
• Fluss durch eine Fläche Oberächenintegral Art
• v S Abbildung s
• R sin cos d d
• sin sin cos d d
• R cos cos
• Kurvenintegrale für Skalarfelder
• f xtxt t xt f xtxtt
• ist T ds x
• Kurvenintegrale für Vektorfelder
• vi xtxi t dt
• für alle i n Also ist v ds
• Aus ermitteln wir die Dimension kg
• m xt yt zt dt m
• zt dt mzbza
• dt x du und somit
• mxt xt const
• grad xt xt dt
• d xt dt dt
• xb xa b a
• v ds c a
• vzh t zh t dt
• vi zh th dt vi zh t h
• und daher ist
• u hei u h h
• v ds vi zh t
• nicht einfach zusammenhängend
• Kapitel Integration im Rn du ergibt
• y v ds x x
• y du arctan u x
• Daher ist G R deniert durch
• y x y arctan x
• vt y z dt
• vx t z dt
• v t y z dt
• K liegt links zur Durchlaufrichtung von x
• c a Abbildung b
• Oenbar ist v dK x
• c d c d hy gy
• v x y dx dy x
• v xyx y dy v dy v dy
• v zyz y dy v dy
• Entsprechend zeigt man
• v dy v ds
• x dx x earctan y dy
• heißt Astroide siehe Abbildung Setzt man
• R R R R
• Also ist xs Entsprechend erhält man ys
• uxt ivxt xt iyt dt
• uxtyt vxtxt dt
• f x iy ux y ivx y
• Daher ist nach f z dz
• u dx v dy i
• v dx u dy i
• v v y x dt
• y x x dt x
• n äußerer Normaleneinheitsvektor
• Gaußscher Integralsatz in der Ebene div v dK
• vxi u v ni xi u v
• v dz dx dy z
• y x y x Abbildung
• Bz t z z x y
• vi ei n dS v n dS
• Summation liefert mit
• lim mn div vx lim Mn
• und ist gleich div vx
• K ut a b t u
• Also ist v ds
• vx vy xu yv yu xv
• Es ist rot v
• r Polarkoordinaten Hyperbolisches Paraboloid Abbildung
• v ds v ds
• v ds v ds
• cos sin cos sin d
•  Anwendungen der Integralsätze
• sin cos d sin cos d
• sin sin sin
• Anwendungen der Integralsätze
• f g gf dS
• Subtrahiert man von die Gleichung so erhält man
• Satz Vektorwertige Versionen der Integralsätze grad dK
• Beweis Zu Nach Gauß ist divei dK
• ei grad dK
• d h rot v dK
• x dx x dx x dx
• Ferner ist rotc Also ist
• x nx x x x x t nx
• Für i ist nach Gauß
• t t t dB t t
• divv dB t divv t
•  Bemerkung Es ist
•  Anwendungen der Integralsätze Nach Gauß und Satz ist
• U dW dB t dt
• k grad U n dS k
• div grad U dB
• vt t x dS t
• St s nt Abbildung
• div vxt t Si t
• div vxt dS div vxt dS
• t t t Daher ist
• Mit Hilfe von und ergibt sich
• vt xt dS t vt x dS
• Aufgabe Berechnen Sie x dB
• f x y dy dx und
•  Aufgabe Berechnen Sie das Integral
• y z z x x y dS
• wobei S der Teil der Kegeläche z
• x y ist der innerhalb des Zylinders
• durchlaufene Strecke bezeichnet
• Lösungen zu den Aufgaben
• ist horizontale Asymptote
• y also y Wbf
• Dann folgt x x also
• x x x x
• Anhang A Lösungen zu den Aufgaben
• z z i i i i
• cos i sin cos i sin
• w Ansatz für w w x iy
• i i i
• Wir nehmen w z
• i i i
• sin x cos cos x sin
• E ist A die Matrix ME L
• bekannt Einsetzen von a cos a sin liefert
• cos sin sin cos sin cos sin cos
• E B MB id ME id
•  A B AB B A
• AB B A für invertierbare A B
• Das Endsystem besteht aus den Zeilen mit
• x x x x x x
• nach Aufgabe ist die Determinante der Koezientenmatrix
• x x x x x x
• x x x x x x
• px x x x x
•  c z x x z
• px x x x a x
• z z z
• Zuhaltemethode C x Zusammenfassen x
• Nach der Binomischen Formel ist
• n k nk a b k
• Für a b heißt das
•  m m m m m m
• p p p p p p
• b k k Die Reihe divergiert c
• Für die Partialsumme
• A B k k k k
• k k n n n n
• Es gilt k k
• ist konvergent nach Wurzelkriterium
• ist konvergent Quotientenkriterium
• ist konvergent Wurzelkriterium
• ist divergent Quotientenkriterium
• k k i k k ck
• Das CauchyProdukt ist somit
• Und tatsächlich a x
• x x x x x x x x
• x existiert nicht x x x lim
• liegt also eine Nullstelle von f A A
• sin x cos x
• Es ist f tan f
• lnx x x lnx lim x x lnx
• x lnx lim lim lnx x
• Der Grenzwert als reelle Zahl existiert nicht
• sin x cos x x
•  Im Bereich x ist F x
• a x ex dx x ex
• x ex xex b
• ex cos x dx sin x
• f ex g cos x f ex g
• I ex cos x sin x c
• g f arcsin x g x f
• Der Integrand ist demnach bei
• cos x sin x
• cos x cos x dx sin x
• ist bei x uneigentlich
• dx lim x x
• a log x b loga x
• loge x Man nehme M
• loga x loga a
• u v artanh x u x v
• x artanh x x artanh x
• x x x x k k
• arcsin x x lim
• x x x x
• x x x
• x cos t y sin t L
• cos t sin t dt sin t
• T t t t t
•  Die Bogenlänge ist
• Die Krümmung ist t
• T t st t
• t ergibt sich t x
• Eigenraum V Löse A Ex
•  Eigenraum V Löse A Ex
• Eigenraum V Löse B Ex
• Eigenraum V Löse C Ex
• Setzt man dies in
•  ein Element von V Es ist
• Wir normalisieren die Eigenvektoren und fassen sammen B
• d h y y y Also ist
•  Eigenraum V V Es ist
• positiv denit negativ denit positiv semidenit negativ semidenit
• falls x y falls x y
• x y x y x y
• Betrachten wir die Folge
• Ferner sei e
• grad f e
• e cos sin Es ist
• t x y
• Abbildung A F r r sin
• fy x y x y
• fyy x y y y x x y
• x x x yHf x y y y
•  x y ln A
•  Schritt grad f x y
• L x y ergibt x xy x y
• Integration FH Nr liefert
• dabei k ec so dass
• k y x x
• y k x k x
• i Zugehörige homogene Dierentialgleichung dy dx
•  Umformen ergibt y x ec
• x sin x natürlich ist dann x
• yS k x k x
• kx x sin x x
• z xz Stationäre Lösung
• dz z z dx y x dx x
• z T d V und Integration
• dw c w w z lnx c z
• ln x y x ln x
• ln x ln x
• dz dx z x
• c R k z x k x
• Lösung der Bernoullischen Dierentialgleichung y
•  PREntwicklung von sin y mit
• y Sicher ist aber y ex
• k x ex x k
• y ax b y cx d a
• x also s x Eine zweite Basislösung
• y y y x y x
• x x x x x
•  x x x x
• a c b ys ex x cos x
• x c x c x x
• RS ex ex e x x c lnx
• ys lnx ex Gesamtlösung
• xex lnx ex ex x
• y c c xex lnx ex
• yh c ex c xex c ex
• Anhang A Lösungen zu den Aufgaben x ex
• y c ex c xex c ex
• ys Aeix iAeix x ys iAeix Aeix x
• ys Aeix iAeix x
•  Eigenvektoren zu x y z RS
• b ist Lösung von Ab a also
• Ein Eigenvektor ist
• Eine erste Basislösung ist
• x Ein Eigenvektor ist
• Eine komplexe Basislösung ist
• reelle Basislösungen sind
• Zunächst Schnittpunkte ausrechnen x x x x x
• x x x x dx
• a x a x dx
• Das erste Integral ist einfach Viertelkreis
• Im zweiten Integral w a x
• In kartesischen Koordinaten wird das etwas sperrig
• r r d dr r er d dr
• R R r e
• z dB zu berechnen
• R r cos r sin dr
• R x y dx y
• Wir nehmen Polarkoordinaten
• dV sin d xyz dx y z
• sin cos cos sin sin d
• sin cos sin cos d d d
• S KR fx fy dx y
• x e ex dx ln
• x e x ex ln
• Der Flächeninhalt der oberen Deckäche ist daher OD
• R dx y R x y
• R r dr d r R
• Rsin R d R R R
• R sin d R cos R
• x y x y K
• y x y x y x x y
• r r cos sin r dr
• r cos sin dr d
•  Fluss durch K
• t t u u
• u cos u u u sin u du
• x arctan y ky y y y
• x k y y x y
• Also ist arctan x eine Stammfunktion y dx
• div v dx y z
• div v z z z dx y z
• z dx y z K dx y z
•  ii Halbkugeläche H x x y x y
• x y R x y R R
• Das verlangt nach Polarkoordinaten
•  Das Flussintegral rot v dS e
• R x y mit x y P y
• R x y x x y dx y

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