Mathematik für Chemiker und Biochemiker

• Titel: Mathematik für Chemiker und Biochemiker
• Organisation: UNI REGENSBURG
• Seitenzahl: 278

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Inhalt

• Mathematik fur Chemiker und Biochemiker
• Dr Klaus Barbey
• Regensburg im August
• Konvergenz und Stetigkeit
• Gewhnliche Dierentialgleichungen o
•  Funktionen mehrerer Vernderlicher a Dierentiation
• Kurven und Dierentialformen
• Vektoren und Matrizen Der Vektorraum R
• Basen Koordinaten und Basistransformation
• Eigenwerte Eigenvektoren und Diagonalisierung
• Divergenz und Rotation
• Flchenintegrale und Integralstze der Vektoranalysis a a
• Fouriertheorie und Laplacetransformation
• Dierential und Integralrechnung bei Funktionen einer Vernderlichen a
• KAPITEL FUNKTIONEN EINER VERANDERLICHEN
• Die reellen Zahlen
• Das Prinzip der mathematischen Induktion
• f r ein festes k Z u
• Im Falle x ist nat rlich u
• f r alle x R u
• cos x sin x tan x falls x
• n nk k a b k
• a a a a
•  KONVERGENZ UND STETIGKEIT
• n Einsen n n Neunen
• an n n n
• Beispiel Anwenden der obigen Rechenregeln zeigt
• n n n n n n
• f r n u
• f r alle x u
• an konvergiert dann bilden die Glieder
• an haben wir an sn sn ss QED
• bn seien konvergent
• an bn konvergent und es gilt
• c an konvergent und es gilt
• cn eine konvergente Reihe mit nicht
• an cn dann ist auch
• an dem Cauchy c cn die
•  ii Im Falle lim
• an mit der geometrischen Reihe
• diese Reihe ist aber konvergent
• Konvergenz bei Funktionen
• a Wir stellen fest
• f x b bei x a
• Denition und einfache Eigenschaften der Ableitung
• h sin da die Sinusfunktion stetig ist
• divergiert bei x nach Beispiel
• f r alle x R u
• Rx f x T x
• f xgx f xg x gx
• f r alle x I mit gx u
• Vom Nutzen der Ableitung
• f r alle x I u
• f r alle y J u
• f r alle y f x J u
• bei y y und also x x
• yn n n nx n ny
• f r alle y xn u
• lim x ln x lim
• e x lnx e e
• Hhere Ableitungen und die Berechnung von Extremwerten o
• f x wchst a f konvex
• kein Extr lokales Min Randminima
• Der Satz von Taylor
• f k x x x k k
• f k z x zk k
• f r alle z I u
• f r x u f r x u
• f r x R u
• f r alle x u
• Denition und einfache Eigenschaften des Integrals
• falls a b I a b
• Berechnung des Integrals durch Stammfunktionen
• f r alle x I u
• F x dx F b F a
• ii F r a R ist u
• sin x dx cos x
• F xGx dx F xGx
• x sin x dx x cos x
• cos x dx sin x
• ln x dx x ln x
• dx a ln a a x
• f r alle a b J u
• f x dx ln f x f x
• Das verbleibende Integral berechnen wir durch partielle Integration
• sin t sin t dt
• sind Sicherlich lassen sich Integrale
• x x x dx x x
•  INTEGRALRECHNUNG und somit
• x dx x x
• x dx x x
• ln ln ln ln ln ln
• Q dx Q x x
• Q Q dx x r
• Q dx lim R x
• stetige Funktion Wenn der Grenzwert lim
• f x dx folgendermaßen f x F a
• Wir wollen die Konvergenz des uneigentlichen Integrals
• dx diskutieren Im Falle ist x
• f r alle R u
• und das uneigentliche Integral divergiert Im Falle ist
• wir das Ergebnis Das uneigentliche Integral den Wert
• dx konvergiert genau wenn und hat dann x
• f r alle r u
• dx konvergiert genau wenn und x
• Schließlich sei noch angemerkt daß man Integrale
• f x dx mit a b die an
• f x dx betrachtet Wenn diese
• beiden uneigentlichen Integrale konvergieren sagt man daß
• f x dx konvergiert und setzt
• dx f r kein u x
• f x dx als ein un
• dort stetig ergnzbar Wie ist dann a
• f x dx der so auf
• dabei kann man die Integrale
• tx et dt bei R und
• tx et dt x x
• f r alle n u
• n n n n a
• n n n n
• k k k k
• f r k u
• und f r gerades n k mit u
• f r k u
• Der Zahlbereich C
• imaginre a Achse y i
• z z z z z z z z
• Die Exponentialfunktion im Komplexen
• f z f z z z
• f r alle z C u
• n k nk u v k
• n k k nk k k
• v nk n k n
• v expu expv n n
• n n ungerade
• Was ist eine Dierentialgleichung
• Das Richtungsfeld einer DG erster Ordnung
• Eine explizite DG erster Ordnung
• Lineare DGn erster Ordnung
• ln y yt Ce
• y eK e mit einer Konstanten C
• f r alle t I u
• in einer etwas gewagten Schreibweise
• Ctet Cttet tCtet tet Ct t
• f r alle t R u
• Lineare DGn zweiter Ordnung
• C C und aus tan
• y t Ctet Ctet Ctet
• f hrt zu der DG u
• mit den Lsungen o
• und betrachten also statt die komplexe Version
• x x x peit
• aeit iaeit aeit peit
• a ei iaei p p i ei a
• p a tan oder a tan
• Ein Beispiel aus Biologie und Chemie
• Dierentialrechnung bei Funktionen mehrerer Vernderlicher a
• KAPITEL FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER
• KAPITEL FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER z Graphf
• bei x y x y
• x y dx yx y dy
• Partielle Ableitungen zweiter Ordnung und Extremwerte
• f r alle x y D u
• n n n n n n n
• resultierenden Gleichungen so erhalten wir
•  KURVEN UND DIFFERENTIALFORMEN
• xt yt rt I t R x
• Das Kurvenintegral einer Dierentialform
• Ax y dx Bx y dy
• Axt ytxt Bxt ytyt dt
• T CV dT R dV V
• CV T T dt CV T T
• V V dt V V V t
• R T lnV V V t
• T dV CV T T V
• V T dV R T ln V V
• Insgesamt erhalten wir f r u Q
• V T dV RT T ln V V
• Der Hauptsatz uber Dierentialformen
• d F xt yt dt dt
• Ax y dx Bx y dy x
• und also Ax y dx Bx y dy
• oder Ax y dx Bx y dy
• x D einfach zusammenhngend a
• x D nicht einfach zusammenhngend a
• sin t cos t dt
• Vektoren und Matrizen
• KAPITEL VEKTOREN UND MATRIZEN
• Der Vektorraum Rn
•  DER VEKTORRAUM RN
• R wird deniert
• Skalarprodukt und Lnge a
• die komplexe Konjugation bezeichnet also z x yi
• f r z x yi C u
•  Dann hat man wie gew nscht u
• beziehungsweise im Falle komplexwertiger Funktionen f g
• f r k m u
• Die erweiterte Koezientenmatrix
• geht uber in die ZeilenStufenForm
• Die erweiterte Koezientenmatrix lautet
•  MATRIZEN sie nimmt die ZeilenStufenForm an
• c akn c ak an ann
• Matrizen als lineare Abbildungen
• f r alle x Rn u
• und weiter gemß a
• k m QED
• Rechenoperationen mit Matrizen
• so kann man das Produkt
• Man kann BA bilden und erhlt a
• mit n Zeilen und Spalten erf llt u
• und bringt diese mit den erlaubten
•  Dann ist A
• Der Begri der Basis
• k a k so folgt n
• genau dann eine Basis wenn gilt
• a a a n
• xn an xn an xn an n
•  BASEN KOORDINATEN UND BASISTRANSFORMATION
• v x a x a xn a
• folgt a k v a k
• f r k n u
• Ein Polynom f f x
• und man c n cn
• f r alle x V u
• f r alle x V u
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• f r alle v V u
•  EIGENWERTE EIGENVEKTOREN UND DIAGONALISIERUNG
• x t R beliebig
• Wir bringen wieder
• Der Eigenraum zu ist mithin
• A iE Somit ist
• x t beliebig
•  Wir betrachten ein Beispiel
• bez glich a a a n aus u
• Zerlegungen k werden feiner
• Nach Denition gilt also
• falls f x auf a b und trivialerweise
• dx b a Lnge von a b a
• Rechtecke die B treen
• Zerlegungen werden feiner
• und dxdy Flcheninhalt von B a
• x sinxy dxdy
• x sinxy dy dx
• cos x dx sin x x
• x sinxy cosxy y y
• siny siny cosy dy y y y
• R R x R x R
• R x y dxdy
• R x y dy dx
• ax y dy dx
•  MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION dabei haben wir noch
• Der Transformationssatz fur ebene Bereichsintegrale
• y B B B B B x
• f gv g v dv
• mit a gc und b gd
• Denition des Integrals gegen
• f x dx die rechten gegen
• f gv g v dv Gleichzeitig wird
• f gu v det Dgu v dudv
• f gu v det Dg u v dudv
•  und die Funktionaldeterminante durch det Dg r
• x y r cos r sin r r
• f r cos r sin r drd
• f r cos r sin rdr d
• f r alle u v E u
• u uv dudv v v
• u v dv du
• Rumliche Bereichsintegrale a
• Quader die B treen
• wobei a a b b und c c
• f x y z dxdydz
• f x y z dz dy dx
• f x y z dz dxdy
• x y z dudvdw u v w
• so ist C der Quader
• f r cos r sin z r drddz
• Anwendungen und Beispiele
• und f r das Trgheitsmoment u a IA
• x y dxdydz
• Quader Q die B treen
• f x x xn dx dx dxn
• f x dV x lim f uQ VolumenQ
•  so gilt wieder der Satz von Fubini
• f x x xn dxn dx dx
• f x dV x dadurch einen
• r sin dr d d r
•  MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION hat dann den Wert
• Beispiel Es sei B
• und gemß Beispiel existiert der Grenzwert a
• dr genau wenn oder
• f r festes u
•  Mit R erhalten wir hieraus
• Mit der Substitution x
• oder wie in Gleichung behauptet
•  DIVERGENZ UND ROTATION
• wird ein Vektorfeld auf ganz R deniert
• f r alle x R x u
• F r das obige Vektorfeld u
• f x x y x y
• x t genauer
• KAPITEL VEKTORANALYSIS A A x t n x
• div x t dxdydz
• y y x y z
• Wirbel eines Vektorfeldes
• gegeben wie man sofort nachrechnet
• Das Kurvenintegral fur skalare Funktionen
• nicht doppelpunktfreie Kurven
• und die xKoordinate seines Schwerpunktes durch x m
• Das Kurvenintegral fur Vektorfelder
•  Insgesamt ist die Arbeit W nherungsweise gleich a
• f rt rtrt dt
• noch einen Schritt weiter und deniert
• fT x dsx als eigenstndiges Kurvenintegral a
• f x dx die beim Durchlaufen des Feldes
• grad hrt rt dt
• d hrt dt hrt dt
• hEndpkt C hAnfangspkt C
•  FLACHENINTEGRALE UND INTEGRALSATZE DER VEKTORANALYSIS
• Flchenintegrale und Integralstze der Vektoranalysis a a
• Flchen und Flchenintegrale a a
• KAPITEL VEKTORANALYSIS z S
• Rechtecke die E treen
• r drdt R R r
• Der Integralsatz von Gauß
• g t dt gb ga
• Dabei ist das rechts stehende Flchenintegral als a
• f x dxdydz y
• f x dxdydz x
• f x dxdydz z
• f x y z dx dydz x
• f b y z dydz
• f a y z dydz
• f x dxdydz x
• div Ex dxdydz
• Der Integralsatz von Stokes
• f r alle x S u
• KAPITEL FOURIERTHEORIE UND LAPLACETRANSFORMATION
• Die Separationsmethode bei partiellen Dierentialgleichungen
• bedeutet oenbar daß die Funktion
•  DIE SEPARATIONSMETHODE BEI PARTIELLEN DGN
• Diusion in einem Rohr I
• falls k falls k falls k
• sinku sinnu du
• wobei wir noch u
• sinkx sinnx dx
• falls k n falls k n
• f r alle n u
• f r alle t u
• u sin nu cos nu n n
• u sin nu cos nu n n
• erhalten wir als Lsung o cx t
• falls falls falls falls falls falls
• n n n n n n
• Fourierreihen in reeller Schreibweise
• an cos nx bn sin nx
• cos nx dx bn
• und hieraus a f x dx
• f x cos nx dx
• f x sin nx dx
•  FOURIERREIHEN Die Fourierkoezienten von f sind a an
• wenn n gerade wenn n ungerade
• Somit lautet die Fourierreihe von f
• f r alle x u
• Mit x erhlt man speziell a n n
• Funktionen mit beliebiger Periode
• Die Fourierkoezienten von g sind a
• gx cos nx dx
• f t cosnt dt
• gx sin nx dx
• f t sinnt dt
• falls g stetig in x sonst
• an cosnt bn sinnt
• falls f stetig in t sonst
•  FOURIERREIHEN es gilt mit T T
• cosn p cosn cosn n n
• erhalten wir b
• p p b p b und pt
• p p b b
• f r alle n u
• Fourierreihen in komplexer Schreibweise
• an cos nx bn sin nx a
• und die an beiden Summationsgrenzen unendliche Reihe durch
• cn einx lim
• falls n falls n
• in e ein sin n in n
• durch Multiplikation mit eikx und Integration
• eikx einx dx ck
• f r alle n Z u
• und es gilt die Entsprechung von Satz
• Die komplexen Fourierkoezienten sind c
• cn eint lim
• konvergiert und es gilt
• falls f stetig ist in t sonst
• ein T f t dt
• bilden wir die Fourierreihe
• ein T f t dt ein T
• und n n lautet diese Gleichung T
• eix d bei festem x auf und
• eit f t dt d
• f r alle R u
• Denition und einache Eigenschaften der Fouriertransformation
• oder man bringt den Faktor im Exponenten an
• falls t T falls t T
• Ff t x Erklren wir a
• ixt e eixt ix
• sinT x sinT x T x Tx
• sin T x Tx x
• Ff t x Ff t xn
• eitx eitxn f t dt
• eitx eitxn f t dt konvergiert
• Ff t x also Ff t x
• f t dt eixt f t ix
• eixt f t dt
• f r alle t R u
• denn es konvergiert etwa
• eixR bei R wegen eixR eR ix F
• t Bemerkung gilt
• wie behauptet Da f stetig ist gilt
• eixR f R eixR f R bei R
• iii Man dierenziert unter dem Integral d dx
• d ixt e f t dt i dx
• eixt tf t dt
• eixt t et dt
• und weiter mit partieller Integration
• x gx f r alle x R u
• Der Umkehrsatz der Fouriertransformation
• sin x dx x
• Ff t x eitx dx
• f r t u f r t u
•  FOURIERTRANSFORMATION F r t erhalten wir insbesondere u
• nicht elementar zu berechnende Integral
• sin x dx x
• sin x dx x
• Diusion in einem Rohr II
• f r alle x t u
• gp p eipx ep
• gp eipx p ep
• f r alle x u
•  FOURIERTRANSFORMATION so ist nach dem Umkehrsatz der Fouriertransformation
• Ff u p eipx dp f x
• f r alle x t u
• eipu f u du dp
• vertauschen die Integrationsreihenfolge
• und erhalten aus Beispiel Dt
• e Dt xu f u du
• f t s gs ds
• f t s gs ds dt
• f t s gs dt ds
• f t s dt gs ds QED
• f t s gs ds dt zeigt daß
• f gt deniert
• f s gt s ds
• f s gt s ds g f t
• f t s dt gs ds
• eixts f t dt gs ds
• eixs gs ds Ff t x Fgt x
• falls t falls t
• f t s f s ds
• ets es ds tet
• Die Fouriertransformierte von f ist
• Denition und Beispiele
• etxt dt endlich
• whrend f r f t a u
• falls Re a x falls Re a x
• Mit R rechnen wir nmlich aus a
• eazR az za
• ezt sin t dt
• ezt z sin t cos t z
• ezR z sin R cos R z z
• L z Weiter zeigt partielle Integration
• dt ezt tn z
• f r alle t u
• exts f t dt gs ds
• Damit ist f g laplacetransformierbar mit
• ezt f t s dt gs ds
• ezs gs ds QED
• Lf t z Lgt z
• f r alle z C Re z u
• z a za z a
• Der Umkehrsatz der Laplacetransformation
• Lf t ze dz lim R i
• Lf t zezt dz
• lim R und es gilt i Insbesondere ist
• Lf t a iveaivt dv
• f r alle t u falls t
• Lf t zezt dz f t
• Somit ist g fouriertransformierbar mit
• eaivt f t dt Lf t a iv
• f r alle v R u
• eivt Lf t a iv dv
• Anwendungen der Laplacetransformation
• x x x rt
• und noch einmal angewandt
• zx x x Lrt z z z
• ets sint s rs ds
• u x t dt x x

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