Mathematik für Chemiker und Biochemiker

  • Titel: Mathematik für Chemiker und Biochemiker
  • Organisation: UNI REGENSBURG
  • Seitenzahl: 278

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Inhalt

  • Mathematik fur Chemiker und Biochemiker
  • Dr Klaus Barbey
  • Regensburg im August
  • Konvergenz und Stetigkeit
  • Gewhnliche Dierentialgleichungen o
  • Funktionen mehrerer Vernderlicher a Dierentiation
  • Kurven und Dierentialformen
  • Vektoren und Matrizen Der Vektorraum R
  • Basen Koordinaten und Basistransformation
  • Eigenwerte Eigenvektoren und Diagonalisierung
  • Divergenz und Rotation
  • Flchenintegrale und Integralstze der Vektoranalysis a a
  • Fouriertheorie und Laplacetransformation
  • Dierential und Integralrechnung bei Funktionen einer Vernderlichen a
  • KAPITEL FUNKTIONEN EINER VERANDERLICHEN
  • Die reellen Zahlen
  • Das Prinzip der mathematischen Induktion
  • f r ein festes k Z u
  • Im Falle x ist nat rlich u
  • f r alle x R u
  • cos x sin x tan x falls x
  • n nk k a b k
  • a a a a
  • KONVERGENZ UND STETIGKEIT
  • n Einsen n n Neunen
  • an n n n
  • Beispiel Anwenden der obigen Rechenregeln zeigt
  • n n n n n n
  • f r n u
  • f r alle x u
  • an konvergiert dann bilden die Glieder
  • an haben wir an sn sn ss QED
  • bn seien konvergent
  • an bn konvergent und es gilt
  • c an konvergent und es gilt
  • cn eine konvergente Reihe mit nicht
  • an cn dann ist auch
  • an dem Cauchy c cn die
  • ii Im Falle lim
  • an mit der geometrischen Reihe
  • diese Reihe ist aber konvergent
  • Konvergenz bei Funktionen
  • a Wir stellen fest
  • f x b bei x a
  • Denition und einfache Eigenschaften der Ableitung
  • h sin da die Sinusfunktion stetig ist
  • divergiert bei x nach Beispiel
  • f r alle x R u
  • Rx f x T x
  • f xgx f xg x gx
  • f r alle x I mit gx u
  • Vom Nutzen der Ableitung
  • f r alle x I u
  • f r alle y J u
  • f r alle y f x J u
  • bei y y und also x x
  • yn n n nx n ny
  • f r alle y xn u
  • lim x ln x lim
  • e x lnx e e
  • Hhere Ableitungen und die Berechnung von Extremwerten o
  • f x wchst a f konvex
  • kein Extr lokales Min Randminima
  • Der Satz von Taylor
  • f k x x x k k
  • f k z x zk k
  • f r alle z I u
  • f r x u f r x u
  • f r x R u
  • f r alle x u
  • Denition und einfache Eigenschaften des Integrals
  • falls a b I a b
  • Berechnung des Integrals durch Stammfunktionen
  • f r alle x I u
  • F x dx F b F a
  • ii F r a R ist u
  • sin x dx cos x
  • F xGx dx F xGx
  • x sin x dx x cos x
  • cos x dx sin x
  • ln x dx x ln x
  • dx a ln a a x
  • f r alle a b J u
  • f x dx ln f x f x
  • Das verbleibende Integral berechnen wir durch partielle Integration
  • sin t sin t dt
  • sind Sicherlich lassen sich Integrale
  • x x x dx x x
  • INTEGRALRECHNUNG und somit
  • x dx x x
  • x dx x x
  • ln ln ln ln ln ln
  • Q dx Q x x
  • Q Q dx x r
  • Q dx lim R x
  • stetige Funktion Wenn der Grenzwert lim
  • f x dx folgendermaßen f x F a
  • Wir wollen die Konvergenz des uneigentlichen Integrals
  • dx diskutieren Im Falle ist x
  • f r alle R u
  • und das uneigentliche Integral divergiert Im Falle ist
  • wir das Ergebnis Das uneigentliche Integral den Wert
  • dx konvergiert genau wenn und hat dann x
  • f r alle r u
  • dx konvergiert genau wenn und x
  • Schließlich sei noch angemerkt daß man Integrale
  • f x dx mit a b die an
  • f x dx betrachtet Wenn diese
  • beiden uneigentlichen Integrale konvergieren sagt man daß
  • f x dx konvergiert und setzt
  • dx f r kein u x
  • f x dx als ein un
  • dort stetig ergnzbar Wie ist dann a
  • f x dx der so auf
  • dabei kann man die Integrale
  • tx et dt bei R und
  • tx et dt x x
  • f r alle n u
  • n n n n a
  • n n n n
  • k k k k
  • f r k u
  • und f r gerades n k mit u
  • f r k u
  • Der Zahlbereich C
  • imaginre a Achse y i
  • z z z z z z z z
  • Die Exponentialfunktion im Komplexen
  • f z f z z z
  • f r alle z C u
  • n k nk u v k
  • n k k nk k k
  • v nk n k n
  • v expu expv n n
  • n n ungerade
  • Was ist eine Dierentialgleichung
  • Das Richtungsfeld einer DG erster Ordnung
  • Eine explizite DG erster Ordnung
  • Lineare DGn erster Ordnung
  • ln y yt Ce
  • y eK e mit einer Konstanten C
  • f r alle t I u
  • in einer etwas gewagten Schreibweise
  • Ctet Cttet tCtet tet Ct t
  • f r alle t R u
  • Lineare DGn zweiter Ordnung
  • C C und aus tan
  • y t Ctet Ctet Ctet
  • f hrt zu der DG u
  • mit den Lsungen o
  • und betrachten also statt die komplexe Version
  • x x x peit
  • aeit iaeit aeit peit
  • a ei iaei p p i ei a
  • p a tan oder a tan
  • Ein Beispiel aus Biologie und Chemie
  • Dierentialrechnung bei Funktionen mehrerer Vernderlicher a
  • KAPITEL FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER
  • KAPITEL FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER z Graphf
  • bei x y x y
  • x y dx yx y dy
  • Partielle Ableitungen zweiter Ordnung und Extremwerte
  • f r alle x y D u
  • n n n n n n n
  • resultierenden Gleichungen so erhalten wir
  • KURVEN UND DIFFERENTIALFORMEN
  • xt yt rt I t R x
  • Das Kurvenintegral einer Dierentialform
  • Ax y dx Bx y dy
  • Axt ytxt Bxt ytyt dt
  • T CV dT R dV V
  • CV T T dt CV T T
  • V V dt V V V t
  • R T lnV V V t
  • T dV CV T T V
  • V T dV R T ln V V
  • Insgesamt erhalten wir f r u Q
  • V T dV RT T ln V V
  • Der Hauptsatz uber Dierentialformen
  • d F xt yt dt dt
  • Ax y dx Bx y dy x
  • und also Ax y dx Bx y dy
  • oder Ax y dx Bx y dy
  • x D einfach zusammenhngend a
  • x D nicht einfach zusammenhngend a
  • sin t cos t dt
  • Vektoren und Matrizen
  • KAPITEL VEKTOREN UND MATRIZEN
  • Der Vektorraum Rn
  • DER VEKTORRAUM RN
  • R wird deniert
  • Skalarprodukt und Lnge a
  • die komplexe Konjugation bezeichnet also z x yi
  • f r z x yi C u
  • Dann hat man wie gew nscht u
  • beziehungsweise im Falle komplexwertiger Funktionen f g
  • f r k m u
  • Die erweiterte Koezientenmatrix
  • geht uber in die ZeilenStufenForm
  • Die erweiterte Koezientenmatrix lautet
  • MATRIZEN sie nimmt die ZeilenStufenForm an
  • c akn c ak an ann
  • Matrizen als lineare Abbildungen
  • f r alle x Rn u
  • und weiter gemß a
  • k m QED
  • Rechenoperationen mit Matrizen
  • so kann man das Produkt
  • Man kann BA bilden und erhlt a
  • mit n Zeilen und Spalten erf llt u
  • und bringt diese mit den erlaubten
  • Dann ist A
  • Der Begri der Basis
  • k a k so folgt n
  • genau dann eine Basis wenn gilt
  • a a a n
  • xn an xn an xn an n
  • BASEN KOORDINATEN UND BASISTRANSFORMATION
  • v x a x a xn a
  • folgt a k v a k
  • f r k n u
  • Ein Polynom f f x
  • und man c n cn
  • f r alle x V u
  • f r alle x V u
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • f r alle v V u
  • EIGENWERTE EIGENVEKTOREN UND DIAGONALISIERUNG
  • x t R beliebig
  • Wir bringen wieder
  • Der Eigenraum zu ist mithin
  • A iE Somit ist
  • x t beliebig
  • Wir betrachten ein Beispiel
  • bez glich a a a n aus u
  • Zerlegungen k werden feiner
  • Nach Denition gilt also
  • falls f x auf a b und trivialerweise
  • dx b a Lnge von a b a
  • Rechtecke die B treen
  • Zerlegungen werden feiner
  • und dxdy Flcheninhalt von B a
  • x sinxy dxdy
  • x sinxy dy dx
  • cos x dx sin x x
  • x sinxy cosxy y y
  • siny siny cosy dy y y y
  • R R x R x R
  • R x y dxdy
  • R x y dy dx
  • ax y dy dx
  • MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION dabei haben wir noch
  • Der Transformationssatz fur ebene Bereichsintegrale
  • y B B B B B x
  • f gv g v dv
  • mit a gc und b gd
  • Denition des Integrals gegen
  • f x dx die rechten gegen
  • f gv g v dv Gleichzeitig wird
  • f gu v det Dgu v dudv
  • f gu v det Dg u v dudv
  • und die Funktionaldeterminante durch det Dg r
  • x y r cos r sin r r
  • f r cos r sin r drd
  • f r cos r sin rdr d
  • f r alle u v E u
  • u uv dudv v v
  • u v dv du
  • Rumliche Bereichsintegrale a
  • Quader die B treen
  • wobei a a b b und c c
  • f x y z dxdydz
  • f x y z dz dy dx
  • f x y z dz dxdy
  • x y z dudvdw u v w
  • so ist C der Quader
  • f r cos r sin z r drddz
  • Anwendungen und Beispiele
  • und f r das Trgheitsmoment u a IA
  • x y dxdydz
  • Quader Q die B treen
  • f x x xn dx dx dxn
  • f x dV x lim f uQ VolumenQ
  • so gilt wieder der Satz von Fubini
  • f x x xn dxn dx dx
  • f x dV x dadurch einen
  • r sin dr d d r
  • MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION hat dann den Wert
  • Beispiel Es sei B
  • und gemß Beispiel existiert der Grenzwert a
  • dr genau wenn oder
  • f r festes u
  • Mit R erhalten wir hieraus
  • Mit der Substitution x
  • oder wie in Gleichung behauptet
  • DIVERGENZ UND ROTATION
  • wird ein Vektorfeld auf ganz R deniert
  • f r alle x R x u
  • F r das obige Vektorfeld u
  • f x x y x y
  • x t genauer
  • KAPITEL VEKTORANALYSIS A A x t n x
  • div x t dxdydz
  • y y x y z
  • Wirbel eines Vektorfeldes
  • gegeben wie man sofort nachrechnet
  • Das Kurvenintegral fur skalare Funktionen
  • nicht doppelpunktfreie Kurven
  • und die xKoordinate seines Schwerpunktes durch x m
  • Das Kurvenintegral fur Vektorfelder
  • Insgesamt ist die Arbeit W nherungsweise gleich a
  • f rt rtrt dt
  • noch einen Schritt weiter und deniert
  • fT x dsx als eigenstndiges Kurvenintegral a
  • f x dx die beim Durchlaufen des Feldes
  • grad hrt rt dt
  • d hrt dt hrt dt
  • hEndpkt C hAnfangspkt C
  • FLACHENINTEGRALE UND INTEGRALSATZE DER VEKTORANALYSIS
  • Flchenintegrale und Integralstze der Vektoranalysis a a
  • Flchen und Flchenintegrale a a
  • KAPITEL VEKTORANALYSIS z S
  • Rechtecke die E treen
  • r drdt R R r
  • Der Integralsatz von Gauß
  • g t dt gb ga
  • Dabei ist das rechts stehende Flchenintegral als a
  • f x dxdydz y
  • f x dxdydz x
  • f x dxdydz z
  • f x y z dx dydz x
  • f b y z dydz
  • f a y z dydz
  • f x dxdydz x
  • div Ex dxdydz
  • Der Integralsatz von Stokes
  • f r alle x S u
  • KAPITEL FOURIERTHEORIE UND LAPLACETRANSFORMATION
  • Die Separationsmethode bei partiellen Dierentialgleichungen
  • bedeutet oenbar daß die Funktion
  • DIE SEPARATIONSMETHODE BEI PARTIELLEN DGN
  • Diusion in einem Rohr I
  • falls k falls k falls k
  • sinku sinnu du
  • wobei wir noch u
  • sinkx sinnx dx
  • falls k n falls k n
  • f r alle n u
  • f r alle t u
  • u sin nu cos nu n n
  • u sin nu cos nu n n
  • erhalten wir als Lsung o cx t
  • falls falls falls falls falls falls
  • n n n n n n
  • Fourierreihen in reeller Schreibweise
  • an cos nx bn sin nx
  • cos nx dx bn
  • und hieraus a f x dx
  • f x cos nx dx
  • f x sin nx dx
  • FOURIERREIHEN Die Fourierkoezienten von f sind a an
  • wenn n gerade wenn n ungerade
  • Somit lautet die Fourierreihe von f
  • f r alle x u
  • Mit x erhlt man speziell a n n
  • Funktionen mit beliebiger Periode
  • Die Fourierkoezienten von g sind a
  • gx cos nx dx
  • f t cosnt dt
  • gx sin nx dx
  • f t sinnt dt
  • falls g stetig in x sonst
  • an cosnt bn sinnt
  • falls f stetig in t sonst
  • FOURIERREIHEN es gilt mit T T
  • cosn p cosn cosn n n
  • erhalten wir b
  • p p b p b und pt
  • p p b b
  • f r alle n u
  • Fourierreihen in komplexer Schreibweise
  • an cos nx bn sin nx a
  • und die an beiden Summationsgrenzen unendliche Reihe durch
  • cn einx lim
  • falls n falls n
  • in e ein sin n in n
  • durch Multiplikation mit eikx und Integration
  • eikx einx dx ck
  • f r alle n Z u
  • und es gilt die Entsprechung von Satz
  • Die komplexen Fourierkoezienten sind c
  • cn eint lim
  • konvergiert und es gilt
  • falls f stetig ist in t sonst
  • ein T f t dt
  • bilden wir die Fourierreihe
  • ein T f t dt ein T
  • und n n lautet diese Gleichung T
  • eix d bei festem x auf und
  • eit f t dt d
  • f r alle R u
  • Denition und einache Eigenschaften der Fouriertransformation
  • oder man bringt den Faktor im Exponenten an
  • falls t T falls t T
  • Ff t x Erklren wir a
  • ixt e eixt ix
  • sinT x sinT x T x Tx
  • sin T x Tx x
  • Ff t x Ff t xn
  • eitx eitxn f t dt
  • eitx eitxn f t dt konvergiert
  • Ff t x also Ff t x
  • f t dt eixt f t ix
  • eixt f t dt
  • f r alle t R u
  • denn es konvergiert etwa
  • eixR bei R wegen eixR eR ix F
  • t Bemerkung gilt
  • wie behauptet Da f stetig ist gilt
  • eixR f R eixR f R bei R
  • iii Man dierenziert unter dem Integral d dx
  • d ixt e f t dt i dx
  • eixt tf t dt
  • eixt t et dt
  • und weiter mit partieller Integration
  • x gx f r alle x R u
  • Der Umkehrsatz der Fouriertransformation
  • sin x dx x
  • Ff t x eitx dx
  • f r t u f r t u
  • FOURIERTRANSFORMATION F r t erhalten wir insbesondere u
  • nicht elementar zu berechnende Integral
  • sin x dx x
  • sin x dx x
  • Diusion in einem Rohr II
  • f r alle x t u
  • gp p eipx ep
  • gp eipx p ep
  • f r alle x u
  • FOURIERTRANSFORMATION so ist nach dem Umkehrsatz der Fouriertransformation
  • Ff u p eipx dp f x
  • f r alle x t u
  • eipu f u du dp
  • vertauschen die Integrationsreihenfolge
  • und erhalten aus Beispiel Dt
  • e Dt xu f u du
  • f t s gs ds
  • f t s gs ds dt
  • f t s gs dt ds
  • f t s dt gs ds QED
  • f t s gs ds dt zeigt daß
  • f gt deniert
  • f s gt s ds
  • f s gt s ds g f t
  • f t s dt gs ds
  • eixts f t dt gs ds
  • eixs gs ds Ff t x Fgt x
  • falls t falls t
  • f t s f s ds
  • ets es ds tet
  • Die Fouriertransformierte von f ist
  • Denition und Beispiele
  • etxt dt endlich
  • whrend f r f t a u
  • falls Re a x falls Re a x
  • Mit R rechnen wir nmlich aus a
  • eazR az za
  • ezt sin t dt
  • ezt z sin t cos t z
  • ezR z sin R cos R z z
  • L z Weiter zeigt partielle Integration
  • dt ezt tn z
  • f r alle t u
  • exts f t dt gs ds
  • Damit ist f g laplacetransformierbar mit
  • ezt f t s dt gs ds
  • ezs gs ds QED
  • Lf t z Lgt z
  • f r alle z C Re z u
  • z a za z a
  • Der Umkehrsatz der Laplacetransformation
  • Lf t ze dz lim R i
  • Lf t zezt dz
  • lim R und es gilt i Insbesondere ist
  • Lf t a iveaivt dv
  • f r alle t u falls t
  • Lf t zezt dz f t
  • Somit ist g fouriertransformierbar mit
  • eaivt f t dt Lf t a iv
  • f r alle v R u
  • eivt Lf t a iv dv
  • Anwendungen der Laplacetransformation
  • x x x rt
  • und noch einmal angewandt
  • zx x x Lrt z z z
  • ets sint s rs ds
  • u x t dt x x

Vorschau

Mathematik fur Chemiker und Biochemiker ¨

Vorlesungsausarbeitung

von

Dr. Klaus Barbey

Regensburg, im August 2007

2

Inhaltsverzeichnis

1 Funktionen einer Ver¨nderlichen a 1.1 Einf¨ hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7 Die reellen ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8

Das Prinzip der mathematischen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Logarithmische Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Auswahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Konvergenz bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Definition und einfache Eigenschaften der Ableitung . . . . . . . . . . . . 34 Vom Nutzen der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 H¨here Ableitungen und die Berechnung von Extremwerten . . . . . . . . 43 o Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Definition und einfache Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . 54 Berechnung des Integrals durch Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . 56 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Die Gamma–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Der ahlbereich C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Die Exponentialfunktion im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Was ist eine Differentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Das Richtungsfeld einer DG erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 DGn erster Ordnung: Der Fall der getrennten Ver¨nderlichen . . . . . . . 78 a Lineare DGn erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Lineare DGn zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ein Beispiel aus Biologie und Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3

Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Komplexe ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Gew¨hnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 o