Elastizitätstheorie

• Titel: Elastizitätstheorie
• Autor: E. Stein und F.-J. Barthold
• Organisation: TU DORTMUND
• Seitenzahl: 234

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Inhalt

• Universität Dortmund Fakultät Bauwesen
• Erwin Stein und FranzJoseph Barthold
• Institut fur Baumechanik und Numerische Mechanik
• Unterlagen zur Vorlesung
• Prof DrIng Erwin Stein
• DrIng FranzJoseph Barthold
• Hannover im Oktober
• E Stein FJ Barthold
• Deformationen und Verzerrungen
• Grundlagen der Kontinuumsmechanik
• Der materielle Krper und seine Eigenschaften o
• Die Bilanz und Erhaltungsstze der Mechanik a
• Die konstitutiven Gleichungen
• Das Aufgabengebiet der Elastizittstheorie a
• Die mathematische Behandlung der Elastizittstheorie a
• u Einf hrung in die FiniteElementeMethode
• Lage und Bewegung
• Die deterministische Theorie
• Die mathematische Beschreibung der physikalischen Ereignisse
• Lage der materiellen Punkte
• Vergleich des Greenschen Verzerrungstensors E mit den Ingenieurverzerrungen
• Der Almansische Verzerrungstensor EA
• Hauptachsentransformation des RechtsStreckTensors U
• Hauptachsentransformation des LinksStreckTensors V
• Spektraldarstellung der Verzerrungstensoren
• Einf hrung weiterer Verzerrungstensoren u
• Das Cauchysche Dehnungsellipsoid
• Volumetrische und isochore Deformationen
• Kugeltensor und Deviator
• Transformation geometrischer Grßen o
• PullBack und PushForwardOperationen
• Transformation der Linienelemente
• Transformation der Volumenelemente
• Transformation der Flchenelemente a
• Materielle Darstellung der materiellen Zeitableitung skalarwertiger Vektorfunktionen
• Rumliche Darstellung der materiellen Zeitableitung a skalarwertiger Vektorfunktionen
• Darstellung der dynamischen Feldgleichungen in der Referenzkonguration
• Der Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
• Rumliche Darstellung a
• Der Bilanzsatz der kinetischen Energie
• Herleitung des Bilanzsatzes der kinetischen Energie
• Der Erhaltungssatz der gesamten mechanischen und thermischen Energie
• Die lokale Formulierung des Energieerhaltungssatzes
• Der Hauptsatz der Thermodynamik
• Die stounabhngigen Gleichungen a
• Die stounabhngigen Gleichungen a
• Mathematische Grundlagen der Linearisierung
• Linearisierung reellwertiger Funktionen einer Vernderlichen a
• Linearisierung skalarwertiger Funktionen mehrerer Vera nderlicher
• Linearisierung vektor und tensorwertiger Funktionen
• Linearisierung stounabhngiger Grßen a o
• Linearisierung der kinematischen Beziehungen
• Linearisierung der Spannungstensoren
• Linearisierung der Feldgleichungen
• Das Hookesche Werkstogesetz in Matrizenschreibweise
• LamNaviersche Dierentialgleichungen e
• Ein Vergleich verschiedener Materialmodelle
• Hauptachsenproblem des Cauchyschen Spannungstensors
• Das Hauptachsenproblem des ebenen Spannungszustandes
• Zusammenstellung der Grundgleichungen
• Die geometrischen Beziehungen
• Die dynamischen und statischen Feldgleichungen
• Die geometrischen und statischen Randbedingungen
• Das Werkstogesetz eines homogenen isotropen elastischen Materials
• Das Randwertproblem der Elastizittstheorie a
• Linearisierung der Grundgleichungen
• Lsungen der Grundgleichungen o
• Herleitung des DreiFunktionenAnsatzes
• Lsungen der Bipotentialgleichung o
• Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinaten f r achsensymmetrische Probleme u
• Ebener Spannungszustand in Polarkoordinaten
• Ebener Spannungszustand in kartesischen Koordinaten
• Elastische Halbebene unter Einzellast
• Elastischer Halbraum unter Einzellast
• Scheibe mit Loch
• Arbeits und Extremalprinzipien
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit
• Das Prinzip der virtuellen Ergnzungsarbeit a
• Ein kleiner Exkurs in die Variationsrechnung
• Das Minimum der potentiellen Energie
• Einf hrung eines Stogesetzes mit Potentialeigenschaft u
• Herleitung des Prinzips der stationren potentiellen a Energie
• Einf hrung in die FEM u
• Ingenieurmßige Darstellung der linearen FEM a
• Prinzip der virtuellen Arbeit
• Potentialeigenschaften der inneren und ußeren Krfte a a
• Direkte Darstellung des Dirichletprinzips
• Darstellung der ElementSteigkeitsmatrizen
• Einf hrung globaler Knotenverschiebungsvektoren u
• Themengebiete der Mechanik
• Schritte zur Erstellung eines mechanischmathematischen Modells
• Modellierung des materiellen Krpers als Punktkontinuum o
• Veranschaulichung der injektiven Abbildung
• Veranschaulichung der surjektiven Abbildung
• Veranschaulichung der bijektiven Abbildung
• Abbildung zwischen Referenz und Momentankonguration
• Relative Beschreibung der Bewegung
• Einaxiale Belastung eines W rfels u
• Wechsel der Referenzkonguration
• Wahl beliebiger Koordinatensysteme
• Gleichgewicht am Saitenelement
• Krftegruppen an einer Kreisscheibe a
• Wlbkraftgruppe auf Vollzylinder bzw Kreiszylinderschale o
• Torsionsbeanspruchung eines eingespannten Stabes
• Lastabtragung eines Fachwerksystems
• Rand einer Scheibe mit Belastung
• Verlauf der Spannungskomponenten
• Einf hrung von Polarkoordinaten u
• Linien der Hauptnormalspannungen
• Verteilung der Radialspannungen
• Der elastische Halbraum mit Einzellast
• Verteilung der Spannungskomponente z
• Spannungsverteilung im elastischen Halbraum
• Gelochte Scheibe unter einachsigem Zug
• Spannungsverlufe in der gelochten Scheibe a
• Funktionen vx und ux
• Belastung einer linearelastischen Feder
• LastVerformungsverhalten einer linearelastischen Feder
• Bilanz der stounabhngigen Gleichungen a
• Beziehungen unter den Materialparametern
• Abbildung Themengebiete der Mechanik
• zielgerichtet auf einen Zweck hin ausgerichtet
• Grundlagen der Kontinuumsmechanik o fester Krper
• Der materielle Krper und seine Eigenschaften o
• von Determinismus Lehre von der kausalen Vorbestimmtheit des
• Abbildung Modellierung des materiellen Krpers als Punktkontinuum o
• Die Bilanz und Erhaltungsstze der Mechanik a
• Das Aufgabengebiet der Elastizittstheorie a
• Energie Hauptsatz der Thermodynamik
•  Grundlagen der Kontinuumsmechanik
• Einfhrung in die FiniteElementeMethode u
• Die mathematische Behandlung der Elastizittsa theorie
• Lage und Bewegung des materiellen Korpers
• Kapitel Lage und Bewegung
• xi ei xi ei
• Vereinbarungen und Bezeichnungen
• I R x t M M t
• Die Abbildung t ist in Abbildung dargestellt
• Veranschaulichung der mathematischen Forderungen
• Abbildung Veranschaulichung der injektiven Abbildung
• a Injektivitt a
• fx fx x x
• f r alle x x A u
• b Surjektivitt a
• Abbildung Veranschaulichung der surjektiven Abbildung
• Abbildung Veranschaulichung der bijektiven Abbildung
• Stetigkeit der Abbildung M I I R R
• existiert und es gilt
• Stetigkeit der Abbildung t B I R
• Einfuhrung der Referenzkonguration B
• Abbildung Referenzkonguration B
•  Einf hrung der Referenzkonguration B u
• Bt x tt t
• I R x t t tt
• Betrachtungsweisen der Bewegung des materiellen Krpers B o
• Abbildung Abbildung zwischen Referenz und Momentankonguration
• Die materielle oder Lagrangesche Betrachtungsweise
•  Betrachtungsweisen der Bewegung
• A eA A G A
• Die rumliche oder Eulersche Betrachtungsweise a
• x x i ei x i gi
• Anschaulich gilt f r diese Betrachtungsweise u
• Die relative Beschreibung der Bewegung
• Bemerkungen zum Wechsel des Beobachters
• j i j i ij ij
• Bemerkungen zum Wechsel der Referenzkonguration
• Abbildung Einaxiale Belastung eines W rfels u
• Abbildung Wechsel der Referenzkonguration
•  Wechsel der Referenzkonguration
• Bemerkungen zum Wechsel des Koordinatensystems
• und f r die Referenzkonguration B u
• Abbildung Wahl beliebiger Koordinatensysteme
•  Wechsel des Koordinatensystems
•  Kapitel Deformationen und Verzerrungen
• Grundlagen und Vereinbarungen
• In Abschnitt wurde die Abbildung nach Gleichung
• I R x t t tt
•  Grundlagen und Vereinbarungen
• Kapitel Deformationen und Verzerrungen
• A A x x x
• beschrieben d h es gilt
• xi xi
• f r alle Bu u
• Der materielle Deformationsgradient F
• Abbildung Deformation eines innitesimalen Linienelementes d
• i dxi FA d A
• F d d F d F
• dx Fd und F Grad x
• auch die inverse Abbildung F mit
• FT Gi gi FT gi Gi
• x J det F det
• Multiplikative oder polare Zerlegung des materiellen Deformationsgradienten F
• U materieller RechtsStreckTensor
• V rumlicher LinksStreckTensor a
• Anschauliche Einfhrung des Greenschen Verzeru rungstensors E
• Der Greensche Verzerrungstensor E
• Abbildung Polare Zerlegung des materiellen Deformationsgradienten F
•  Der Greensche Verzerrungstensor E Symmetrieeigenschaften von F
• Richtungsabhngigkeit von F a
• Abbildung Richtungsabhngigkeit von F a
• d h der materielle Deformationsgradient ist richtungsabhngig a
• ds dx dx Fd Fd dx
• die Euklidische Norm im I R
• Abbildung Konvektive Koordinatensysteme
•  Der Greensche Verzerrungstensor E
• gAB GAB dA dB
• des Vektors der Referenzkonguration gilt
• a Mit der Linearitt des Gradientenoperators
• u eB uAB eA eB B
• und aus folgt die Beziehung
• zu bilden Der Greensche Verzerrungstensor
• HT H H HT HT H
• und damit erhalten wir
• Elin u Elin u
• f r die Dehnungen und u
• u u u u u u
• f r die Gleitungen u
• T T H H H H
• Uber die rumlicher Darstellung des Verschiebungsvektors a
• u ux x x x
• ergibt sich der rumliche Verschiebungsgradient H zu a
• d h es gilt und
• T H H Enlin
• dx dx d d dx dx Fdx Fdx
• dx F F dx dx FT F dx
• dx dx dx F F dx
• Damit ist der Almansische Verzerrungstensor EA durch
• deniert Mit F H folgt
• Hauptachsentransformation der Verzerrungstensoren
• In Abschnitt wurden die symmetrischen positiv deniten Tensoren
• Dazu betrachten wir den folgenden Satz
• i j Ni Nj Ni Nj
• i j ij Ni Nj i ni ni
• Damit gilt die Spektralzerlegung
• Einfhrung weiterer Verzerrungstensoren u
• f r m u f r m u
• wobei die Eigenwerte von U sind
• mit Eigenwerten gegeben durch
• Abbildung Das Cauchysche Dehnungsellipsoid
• d d d
• Eine Deformation ist isochor
• das Volumen jedes Teilkrpers ist o konstant
• J div x
• det F det J F
•  Kugeltensor und Deviator a Invarianten des Kugeltensors EK
• ist deniert durch
• tr E E E E
• ED E EK E tr E
• und beschreibt die reine Gestaltsnderung a
• Vertraglichkeitsbedingungen fur die linearen Verzerrungs Verschiebungsbeziehungen
• ijk jki ikj
• uijk ujik ujki ukji uikj ukij ujik ujki
• ijk jki ikj ujik
• Abbildung PullBack und PushForwardOperationen
• Mit der Beziehung
• folgt f r den Nenner u
• Transformation der Flchenelemente a
• F F iB ei eB
• auf die Linienelemente d A ergibt mit
• dv d d d detF iA
• da det FFT dA
•  Kapitel Zeitliche Ableitungen
• Materielle Zeitableitung skalarwertiger Vektorfunktionen
• Rumliche Darstellung der materiellen Zeitableia tung skalarwertiger Vektorfunktionen
• f r die materielle Darstellung bzw als u
• t t x t
• f r die rumliche Darstellung u a
• Kapitel Zeitliche Ableitungen
• Materielle Zeitableitung vektorwertiger Vektorfunktionen
• Materielle Darstellung der materiellen Zeitableitung vektorwertiger Vektorfunktionen
• d h wir erhalten mit Abbildung Materielle Zeitableitung
• Df t t f f Dt t
• die materielle oder substantielle Zeitableitung des Vektorfeldes f
• Rumliche Darstellung der materiellen Zeitableia tung vektorwertiger Vektorfunktionen
• u Beispiel fr die materielle Zeitableitung vektorwertiger Vektorfunktionen
• Materielle Zeitableitung geometrischer Grßen o
• Ddv dv div x dv Dt
• und mit Hilfe der charakteristischen Gleichung des Eigenwertproblems
• det B IB IIB IIIB
• Die materielle Zeitableitung des Linienelementes dx
• Mit der Beziehung und
• dx d dx FF dx d dx
• Ddx grad x dx l dx Dt
• Die materielle Zeitableitung der JacobiDeterminante det F
• wie in folgt f r die materielle u
• dfF A f F A fF A
• Die zeitliche Ableitung des Volumenelementes dv
• und damit die Formel
• dv div v dv
• Die zeitliche Ableitung des Oberchenelementes a da
• FT FT FT FT FT FT
• Aus diesen Gleichungen erhlt man a
• FT FT FT FT
• da tr d lT da
• mit Qt und
• als starre Transformation bezeichnet
• Untersuchung der Beobachterinvarianz zeitlicher Ableitungen
• a Materieller Deformationsgradient F
• F Q F Q F QT
• b Determinante des materiellen Deformationsgradienten
• Aus der Transformationsbeziehung
• Untersuchung der Objektivitt der Geschwindiga keit vx t
• J det F det F J
• Mit der Betrachtung von
• RechtsCauchyGreenTensor C C
• Greenscher Verzerrungstensor E E
• Drehtensor R der polaren Zerlegung R Q R
• RechtsStrecktensor U U U
• Damit erhalten wir die Transformationsbeziehung
• u f r eine starre Bewegung
• Untersuchung der Objektivitt der Beschleunia gung ax t
•  Kapitel Bilanzstze a
• Satz von der Erhaltung der Masse
• Die Bilanz und Erhaltungsstze der a Mechanik
• dv konst f r alle Zeiten t u
• Kapitel Bilanzstze a
• dv D det F dV Dt
• det F dV det F det F dV
• Benutzen wir die Transformation der Volumenelemente
• dv det F dV
• det F det F div x dV
• so ergibt sich aus
• det F div x dV
•  Satz von der Erhaltung der Bewegungsgrße o
• Satz von der Erhaltung der Bewegungsgrße o
• Rumliche Darstellung a
• D x det F dV Dt
• det F div x x dV x
• D x dV Dt
• Einfuhrung mechanischer Spannungen
• x dV t dA B
• Einf hrung des Spannungsvektors t u
• Abbildung Denition der mechanischen Spannungen
• Abbildung Das CauchyPostulat
• Teilkrper B o
• Bt t x t n da
• daj ej ei dai ij
• Abbildung Gleichgewichtsbedingungen am innitesimalen Tetraederelement
• bzw dan dan n
• und mit der Aussage des Flchensatzes folgt a
• Damit gilt die lineare Beziehung
• n ei ti n ti ei T
• ti ei n ei ti T n
• tx t n Tx tn
• Tx t ti ei
• Index Richtung der Spannungskomponente
• T tk ek T ik ei ek
• Index Richtung der Normalen
• Mit Gleichung erhalten wir dann
• tx t n tj ej
• Darstellung der dynamischen Feldgleichungen in der Momentankonguration
• wobei f r T u
• Indexschreibweise der dynamischen Feldgleichungen
• Abbildung Gleichgewicht am Teilkrper B o
• div T b x
• bzw anstatt folgt
• T ji j b xi
• tx t n tx t n Tx tn
• folgt f r die resultierende Schnittkraft u
• T det FFT N dA
• det F T FT N dA
• TB RT P det FRT TFT
• t b t x t dV
• Formelmßig gilt a
• DL Mt Mb L Dt
•  Der Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
• auf Gleichung f hrt zu der Beziehung u
• Mit der bereits bekannten Krftegleichgewichtsbedingung a
• div T b x Abbildung Der Drehimpulserhaltungssatz
• vereinfacht sich die Drehimpulserhaltung zu
• Damit erhalten wir aus die Darstellung
• und ihrer Anwendung auf Gleichung folgt
• Symmetrie des PiolaKirchhoSpannungstensors S
• Betrachtung des PiolaKirchhoSpannungstensors P
• Mit der Denition des PiolaKirchhoSpannungstensors
• P det F TFT
• D Dt t da Bt Bt
• T grad x dv
• div T b x x dv
• bzw div T x dv D Dt
• x x dv Bt
• DK K AW Dt
• geschrieben werden In Worten gilt somit
• T grad x T d
• l lT grad x grad xT
• det F T grad x dV
• Weitere Paarungen lassen sich folgendermaßen herleiten
• tr PFT tr FF PFT
• P F F S F F
• leicht zu W Ws dv
• T Ws S F F S E
• tr PT RRT F tr RT PT U
• tr FPT RRT tr RT PT U U
• F r den Tensor RRT gilt u
• RRT RRT RRT
• RRT RRT RRT T
• Formelmßig erhalten wir damit a
• DE AQ E Dt
• b x dv Bt
• Abbildung Wrmequelle im materiellen Punkt a
• Damit kann der Energieerhaltungssatz in der Form
• dE d A d Q div q
• q n Tn x da
• e r b x dv Bt
• div q dv dv
• div q div TT x
• Mit der Denition q r
• In Formeln bedeutet dies
• r dv q n da dv Bt Bt
• die Entropiezufuhr durch Wrmeproduktion a im Innern
• die Entropieproduktion im Innern
• r dv q n da Bt
•  Der Hauptsatz der Thermodynamik
• Ein thermodynamischer Prozeß heißt isentrop wenn
• gilt Mit Gleichung folgt dann die Beziehung
• f r die Formnderungsenergie u a
• Zusammenstellung und Linearisierung der stounabhngigen a Gleichungen
• Zusammenstellung der stounabhngigen a Gleichungen
•  Die stounabhngigen Gleichungen a
• Kapitel Die stounabhngigen Gleichungen a
• und der dynamischen Feldgleichungen nach
• zur Bestimmung der zehn Unbekannten
• Massendichte x und
• Cauchyscher Spannungstensor T TT
• Linearisierung reellwertiger Funktionen einer Vernderlichen a
• Tabelle Bilanz der stounabhngigen Gleichungen a
•  Mathematische Grundlagen der Linearisierung
• so schreiben wir
• Linearisierung skalarwertiger Funktionen mehrerer Vernderlicher a
• Damit kann in der Form
• Gx Gx Gx x x x
• Abbildung Darstellung der linearen Approximation Lin Gx
• x u Gx u x Gx u x
• Linearisierung der stounabhangigen Gleichungen
• Lin Axu A DA u A
• E Linearisierung des materiellen Deformationsgradienten F Grad x
• Lin Fu H F u
• Linearisierung des rumlichen Deformationsgradienten a F grad u
• DF F u FDF u DF uF
• Hieraus folgt mit
• Lin Eu E DE u
• H HT Elin
• F DF uF Grad u Grad u
• F grad u Grad u Lin F u
• Grad u Grad uT Elin
• tr H tr H tr H det H
• Lin Eu Lin E
• Grad u Grad uT
• Damit erhalten wir das wichtige Resultat
• Weiterhin gilt mit Gleichung
• Linearisierung der Determinante det F des materiellen Deformationsgradienten
• det F det H IH IIH IIIH
• sowie nach folgt
• und damit folgt
• DC u DE u H HT
• Lin Uu H HT
• TB RT P RT FS RT RUS US
• Lin Su S DS u DS u
• bzw in der materiellen Formulierung
• Lin div Tu Lin Div Pu Div
• Grad DT u F
• sowie Ddiv T u
• D Grad P u DGrad P u
• GradDP u Grad Div
• Mit der Bezeichnung Lin Pu gilt also
• Die konstitutiven Gleichungen elastischer Materialien
• Kapitel Konstitutive Gleichungen
• Allgemeingultige Prinzipien zur Aufstel lung von Materialgleichungen
• Damit werden bei thermomechanischen Prozessen die Bewegung
• Prinzip von der Kausalitt a
• Prinzip des Determinismus
• Prinzip der Aquiprsenz a
• Prinzip der materiellen Objektivitt a
• Prinzip der materiellen Symmetrie
• Prinzip der lokalen Wirkung
• Prinzip der nachlassenden Erinnerung
• Prinzip der Zulssigkeit a
• Das Prinzip des Determinismus
• Das Prinzip der materiellen Objektivitt a
• Das Prinzip der nachlassenden Erinnerung
•  Die Denition des elastischen Materials
• Die Denition des elastischen Materials
• t t grad g
• T t TF g
• dW W F W F
• Ws F P F F
• Das Hookesche Werkstogesetz
• Cijkl Cjikl Cijlk Cjilk
• und damit die Reduktion auf unterschiedliche Koezienten
• Folgerungen aus dem Potentialcharakter der Formnderungsenergie a
• Zusammenstellung der bisherigen Ergebnisse
• Cijkl ij kl ik jl il jk
•  Potential der Formnderungsenergie a
• Darstellung der Spannungstensoren aus der Formnderungsenergiefunktion a
• T d dv S E dV
• dWs Ws F Ws F P F dV
• Ws dEij Eij
• Ws Ws Eij Ekl Ekl Eij
• Herleitung der Materialtensoren
• Im weiteren werden spezielle Transformationen des Beobachters untersucht
• a Reine Translation des Beobachters
• und f r den Cauchyschen Spannungsvektor folgt u
• b Zeitverschiebung zwischen den Beobachtern
• Q TF QT TQ F
• R TF R TR F
• R det U TU UT R GU
• C FT F RUT RU UT U U
• oder den Greenschen Verzerrungstensor E mit
• E FT F C U
• S WU WC WE
•  Isotrope elastische Materialien
• Das Prinzip der materiellen Symmetrie
• Die Materialgleichungen isotroper elastischer Materialien
• Der Einuß der Referenzkonguration auf den Deformationsgradienten
• ergibt sich der Gradient zu
• ohne das sich das Materialgesetz ndert a
• Das Materialgesetz homogener isotroper elastischer Materialien
• Mit det Q und damit
• folgt die Beziehung
• und somit gilt
• TQF Q TF QT
• Die Formnderungsenergiefunktion eines homoa genen isotropen hyperelastischen Materials
• d h mit den Beziehungen
• Ws Ws IC IIC IIIC
• des linearen Terms
• C C ijkl ei ej ek el
• C ijkl C jikl C jilk C ijlk
• Damit haben wir den folgenden bedeutsamen Sachverhalt bewiesen
• S tr E E o E
• wobei und die LamKonstanten sind e
• Herleitung des Hookeschen Werkstogesetzes
•  Das Hookesche Werkstogesetz
• Lin SEu d h es gilt kk
• Lin tr Eu Euu
• trLin Eu Lin Eu tr
• Damit ist das Hookesche Werkstogesetz ij
• Damit kann aus und die inverse Beziehung
• aus der Theorie elastischer Materialien hergeleitet worden
• hergeleitet werden die in absoluter tensorieller Notation als
• ij kk ij ij
• ij Cijkl kl
• il jk ik jl ij kl
• Bestimmung der LamParameter und e
• d h wir erhalten die Ungleichung
• Konstanter Druck auf einer Kugel
• E f r i j u sonst
• Abbildung Versuch Konstanter Druck auf eine Kugel
• d h es gilt ij pij
•  Das Hookesche Werkstogesetz Die Konstante nach d h
• f r u ij E f r u
• Damit erhalten wir aus die Beziehung
• und daraus da nach und
• Mit der nat rlichen Annahme folgt sofort u
• und damit die Beziehnug
• Kapitel Konstitutive Gleichungen G E
• K K K Er
• Elastizittsmodul a K
• Tabelle Beziehungen unter den Materialparametern
• u f r das Hookesche Werkstogesetz sowie als
• ij kk ij E E
• f r die inverse Beziehung dargestellt werden u
• sionalen Fall nach in der Form
• Das Hookesche Werkstogesetz fr den ebenen u Spannungszustand
• Das Hookesche Werkstogesetz fr den ebenen u Verzerrungszustand
• Das Hookesche Werkstogesetz fr den geraden u Stab
• EV Z T
• EV Z E EV Z EV Z
• Die hierzu inversen Beziehungen lauten
• Weiterhin gilt f r die Spannungen u
• E E G E G
• Beispiele nichtlinearelastischer Materialien
• apqr p q q r
• q p q p q q
• W F W I II III
• cpqr I p II q III r
• ap p q q gJ
• p p q q p
• inkompressible OgdenMaterialien die Konsistenzbedingung
• W C I C II
• Hauptspannungen und Hauptachsen des Spannungstensors
• Abbildung Vergleich verschiedener nichtlinearer elastischer Materialmodelle
• T i ni T e e Te
• det Te T T T
• Additive Aufspaltung des Spannungstensors in Kugeltensor und Deviator
• tr T T T T
• TD T TK T tr T
• a Invarianten des Kugeltensors TK
• b Invarianten des Deviators TD
• tr TD det TD
• Die Grundgleichungen der Elastizittstheorie a
• Zusammenstellung der Grundgleichungen der Elastizittstheorie a
• Kapitel Die Grundgleichungen
• Div P b u
• DivFS b u S ST
• Div P b DivFS b
• Div P k DivFS k
• Das Randwertproblem der Elastizittstheorie a
• Die geometrischen Randbedingungen sind durch
• Div Grad u SEu b
• uu Grad u SEu N t
• Linearisierung der Grundgleichungen der Elastizittstheorie a
• Die Grundgleichungen der klassischen Elastizittstheorie a
•  Linearisierung der Grundgleichungen
• Herleitung der LamNavierschen e bungsdifferentialgleichungen
•  LamNaviersche Dierentialgleichungen e
• Div Grad u Div Grad u
• Div Grad uT Grad Div u Div u
• Aus der Beziehung
• DivT T Grad Div T
• Die LamNavierschen Verschiebungsdifferentialgleie chungen in kartesischen Koordinaten
• Grad Div u Div Grad u b u
• auch in der Form
• Grad Div u Rot Rot u b u
• gilt die kinematische Beziehung
• Dynamische Gleichgewichtsbedingungen in kartesischen Koordinaten Aus Gleichung folgt
• iji kj uj
•  LamNaviersche Dierentialgleichungen e gilt die Darstellung
• Mit der Denition
• Darstellung der LamNavierschen Verschiee bungsdifferentialgleichungen in Matrixform
• Mit dem LaplaceOperator deniert durch die Beziehung
• uj div grad uj ujii uj uj uj
• erhalten wir die Darstellung
• ek uk kk uk
• mit der Operatormatrix D
• N T t auf B
• D T E D u k in B
• F r dynamische Probleme gilt damit sofort u
• In Gleichung ist die Operatormatrix
• e d h mit ii gilt
• ii ll ii T ii G
• eingesetzt und wir erhalten mit der linearisierten VerzerrungsVerschiebungsbeziehung
• und den daraus folgenden Ableitungen
• und ei kki ukki
• Biharmonische Dierentialgleichungen fur die Verschiebungskomponenten
• T k kk ek G
• uk ek T k
•  Biharmonische DGL f r Verschiebungen u
• Biharmonische Dierentialgleichung fur die Spannungskomponenten
• uii mm j ujiimm
• Div Grad Div Grad u
• il kkli iklk lkki
• und lßt sich damit zu a
• kkli il kk kil kli
• illi lili iill llii
• Die Maxwellschen Spannungsfunktionen
• bzw in den Koezienten bzgl der kartesischen Basis
• und somit gilt in Matrizenschreibweise D
• Herleitung der Dierentialgleichungen fr die u Spannungsfunktion
• D T DT D u u
• Darstellung der Maxwellschen Spannungsfunktion fr die Scheibe u
• Mit der inversen Beziehung des Elastizittsgesetzes nach a
• folgt durch Einsetzen von in
• Betrachten wir den durch denierten Operator L
• und damit die Darstellung
• In Matrizenschreibweise lautet dies Bemerkungen
• und wir erhalten analog zu die Darstellung
• D T ESZ ESZ
• D T E D ESZ ESZ ESZ
• DT E D ESZ ESZ ESZ
• Die Eigenschaften der Dierentialgleichungen der Elastizittstheorie a
• die LamNavierschen Verschiebungsdierentialgleichungen z B nach e und
• die Gleichungen von Beltrami und Michell nach bzw
• sind partielle Dierentialgleichungen Ordnung vom elliptischen Typ
• Ein kleiner Exkurs in die Theorie der Dierentialgleichungen
• Mit den Denitionen und w u y
• Elliptische Dierentialgleichung Parabolische Dierentialgleichung
• Adydp Cdxdq edxdy
• Die Dierentialgleichung der schwingenden Saite
• Die Poissonsche Dierentialgleichung
• Abbildung Vorgespannte Saite
• w w H t x
• Abbildung Gleichgewicht am Saitenelement
• w V dx dm t x
• Die Elliptizitt der Grundgleichungen der Elastia zittstheorie a
• bzw f r die xRichtung u
• u H dx t x
• uiij ujii kj
• und die Gleichungen von Michell nach d h
• kkli il kkk kil kli
• Ein ebene Welle hat die Form
• dh det A ist positiv denit
• Die Elliptizitt der Dierentialgleichungen der a Membranschale
• Das Prinzip von St Venant
•  Eigenschaften der Dierentialgleichungen
• Abbildung Torsionsbeanspruchung eines eingespannten Stabes
• Abbildung Lastabtragung eines Fachwerksystems
• Vektor der Verschiebungskomponenten
• u u u u T
• Hieraus erhalten wir die inverse konstitutive Gleichung
• mit der inversen Elastizittsmatrix E nach Abschnitt a
• Denition der geometrischen Verzerrungen
• mit der Dierentialoperatormatrix D nach
• Geometrische Vertrglichkeitsbedingungen a
• mit der Dierentialoperatormatrix DT nach
• F r verschwindende Volumenkrfte gilt u a
•  Kapitel Lsungen der Grundgleichungen o
• Der DreiFunktionenAnsatz nach PapkovitschNeuber
• Denition des DreiFunktionenAnsatzes
• die elastische Halbebene siehe Abschnitt
• der elastische Halbraum siehe Abschnitt
• die dicke Kugel
• der dickwandige Zylinder und
• die unendlich ausgedehnte Scheibe mit Loch siehe Abschnitt
•  DreiFunktionenAnsatz Bestimmung der Spannungen aus dem DreiFunktionenAnsatz
• Kapitel Lsungen der Grundgleichungen o
• ii Fii ii ii jj
• F ii ii i iii
• oder mit und
• Hieraus ergibt sich mit der DreiFunktionenAnsatz
• Gui Fi i
• Mit dem DreiFunktionenAnsatz erhlt man unmittelbar a
• ik Fik Fki ik ki
• ik Fik ik ki
• Ausgeschrieben lauten die Schubspannungen
• F F F
• F F
• F F
• F F F
• Mit der Bedingung
• h F F Gu F
• Die direkte Herleitung der Scheibentheorie
• F F F
• Losungsfunktionen der Bipotentialglei chungen
• Bipotentialgleichungen in Zylinderkoordinaten fr achsensymmetrische Probleme u
• F F F x x y y
• axial z G z G r
• r n C cosn C sinn
• Weiterhin sind folgende logarithmische Funktionen Bipotentialfunktionen
• mit dem LaplaceOperator in kartesischen Koordinaten
• hat unter anderem folgende Lsungen o
• sinhy sinx y sinhy sinx x sinhy sinx
• Weiterhin sind die biharmonischen Polynome
• F y F y x F xy xy
• P x x y x y
• Die elastische Halbebene unter Wirkung einer Einzellast
• p A cos xd h
• sin c cos xd
• und daraus A B
• Abbildung Rand einer Scheibe mit Belastung
• sin c yey sin xd
• A yBey cos xd
•  Elastische Halbebene unter Einzellast
• und die Spannungskomponenten ergeben sich damit zu
• Abbildung Verlauf der Spannungskomponenten
• Der elastische Halbraum unter Wirkung einer Einzellast
• Abbildung Linien der Hauptnormalspannungen
• Abbildung Verteilung der Radialspannungen
• z z z x x z y y
• z y z z x x z y
•  Elastischer Halbraum unter Einzellast bestimmt und mit folgt
• dA vm r x y z
• P c r r ux uy uz
• Gewhlt wird die Funktion a
• c dzdz z r
• Eingesetzt in erhalten wir
• und damit aus x y z
• c x z x x r
• Damit ist durch
• dz c x r rr z
•  Elastischer Halbraum unter Einzellast
• Abbildung Verteilung der Spannungskomponente z
• Die Scheibe mit Loch unter einachsigem Zug
• Abbildung Spannungsverteilung im elastischen Halbraum
• F Fr r r Frr Fr r
• Rotationsymmetrischer Ansatz Fr
• F Frrrr Frrr Frr Fr r r r
• nn n n nn n nn n
• Achsensymmetrischer Ansatz Fr
• rr r und r
• cos cos r r sin a a
• Daraus erhalten wir die Bedingungsgleichungen
• C C C a a
• und damit erhalten wir die Bedingung
• C C C a a
•  Scheibe mit Loch
• Abbildung Spannungsverlufe in der gelochten Scheibe a
• Maximale Spannung Spannung in ungelochter Scheibe
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit fur o Starrkrperbewegungen
• b x u dv t u da
• b u dv t u da
• b u dv Pt
•  Das Prinzip der virtuellen Arbeit Bemerkungen
• Kapitel Arbeits und Extremalprinzipien
• t t u da b x u dv
• Die Bewegung ist innitesimal klein
• T grad u dv
• Ansonsten ist die Bewegung beliebig
• t t u da T grad udv
• Weiterhin gelten die Krfterandbedingungen a
• b x u dv Bt
• div T b x u t t u
• bi ui dV B herleiten
• Das Prinzip der virtuellen Erganzungs arbeit
• x Bt und x Btu
• grad u T dv
• Die Spannungen sind virtuell d h gedacht
• x Bt und x Bt
• Die virtuellen Spannungen sind innitesimal klein
• Ansonsten sind die virtuellen Spannungen beliebig
•  Das Prinzip der virtuellen Ergnzungsarbeit a
• Grad u P dV
• Diese Situation ist in der Abbildung dargestellt
• Abbildung Funktionen vx und ux
• gen gen mgen u o
•  Ein kleiner Exkurs in die Variationsrechnung
• d Fu x u u x dx dx
• Wird die Gleichung
• x dx Fu xb a
• Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
• Einfhrung eines Stogesetzes mit Potentialeiu genschaft
• P Grad u dV
• Ws dV WE WA
• Cijkl ij kl dV
• b v dv Bt b u dv Bt
• t u da A t v da
• Herleitung des Prinzips der stationren potena tiellen Energie
• in der Form t v da
• i a i a i a W A
• im Gleichgewichtszustand f r v u u
• v Bt i a ij uj ij uj
• f r ij u f r ij u
• darstellen und mit der Stationarittsbedingung ergibt sich a
• a i kl uj kl uj
• Abbildung Belastung einer linearelastischen Feder
• Abbildung LastVerformungsverhalten einer linearelastischen Feder
•  Das Minimum der potentiellen Energie
• Das Dirichletsche Prinzip in Matrizenform
• Der Satz von Clapeyron
• Folgerungen aus den Arbeits und Energieprinzipien
• D vT E D v dV
• D k NT t und erhalten A
• in B und auf B
• Die Variation ergibt sich aus Gleichung zu
• uT D T E D u dV
• Grad u Div b u dV
• dV Mit der Gleichung W
• Der Kirchhosche Eindeutigkeitssatz
• Die Stze von Betti und Maxwell a
• t u dA i i B
• Gleichgewichtszustand ki t ij u i i
• Cijkl kl ij
• Der Satz von Castigliano
• W dui dA ui
• Aus dem Vergleich erhalten wir hieraus
• W Fi ui dW ui dFi
• Der Satz von Engesser
•  Folgerungen aus den Energieprinzipien
•  Folgerungen aus den Energieprinzipien m m m
• Schalentheorie schubstarr Schalentheorie schubelastisch D Kontinuum
• n Dimension des Krpers o
• Fachwerkstab Balken Scheibe Platte Schale D Kontinuum
• i Grad der Singularitt a
• Die Norm in diesem Raum lautet
• w Einzelkraft auf einem Balken m n i
• t u da c um
• Einzelkraft auf eine Platte m n i
• n Dimension des Krpers und o
•  Die Herleitung der DGL der Platte
• Die Herleitung des elastischen Potentials der Platte
• Die Normalspannung z wird vernachlssigt a
• px y wx y dxdy
• x x y y z z xy xy
• xz xz yz yz dxdydz
• w x w y wxy
• x y y y x E E
• F x y w wxx wyy wxy dxdy
• x y xy xy dV
• Die Behandlung des Variationsproblems
• und damit f r das innere Potential u
• w w w x y xy
• mit den Bezeichnungen usw
• K wxx wyy wxxwyy wxy
• F x y w wxx wyy wxy
• und mit der Eulerschen Dierentialgleichung
• Fwyy F Fw wxx x y xy xy
• erhlt man nach der Berechnung von a
• Kwxxxx wyyxx wyyxx
• Fwxx x Fwyy y
• Kwyyyy wxxyy wxxyy
• und damit nach die Kirchhosche Plattengleichung
•  Kapitel Mathematische Elastizittstheorie a
• Zusammenstellung der klassischen linearisierten Elastizittstheorie a
• Das Randwertproblem der klassischen linearisierten Elastizittstheorie a
• Die mathematische Behandlung der linearisierten Elastizittstheorie a
• Kapitel Mathematische Elastizittstheorie a
• Div tr v v v dV
• Lux auf auf
• versehen ist mit
• Das Energieprinzip der klassischen linearisierten Elastizittstheorie a
• Iv Lv v f v
•  Klassische Elastizittstheorie a
• Die schwache Form des Gleichgewichts
• L ist symmetrisch
• L DL V V ist linear
• Div u v f v dx
• u Grad v Div T v
• L ist positiv denit
• f v dx u v dx
•  Die schwache Form des Gleichgewichts g v ds
• mit der Bilinearform bzw Linearform
• tr u tr v u v dx
•  Die schwache Form des Gleichgewichts
• Existenz und Eindeutigkeit der Lsung von Vao riationsaufgaben
• Beziehung der schwachen Form zu Minimalproblemen
• au u u u F F u u
• au v lv Lu v
• Aus und folgt somit
• und damit sofort
• d h die Existenz der Lsung o
• Die Regularitt der Lsung a o
• Losung der schwachen Form des Gleich gewichts
• Hierzu betrachten wir die Bilinearform au v
• existiert An dieser Stelle sollen die Voraussetzungen
• a ist eine stetige symmetrische Bilinearform
• a ist V elliptisch und
• tr und tr T tr tr
• au v g v ds
• tr tr tr dx
• Die Wahl des geeigneten Hilbertraumes V
• tr dx tr u dx
• H H Rlin Rlin
•  Lsung der schwachen Form o
• M mit der Norm
• u u tr Hu H u dx
• v v tr Hv HT v dx
• v v Hv Hv dx
• Die V Elliptizitt der Bilinearform a
• Hieraus folgt die wichtige Ungleichung
• Mit c erhalten wir die V Elliptizitt a
• H Integrierbarkeit im Ansatzgebiet bei DGLn Ordnung
• Einfuhrung in die FiniteElementeMethode FEM
• Geometrische Feldbedingungen Geometrische Randbedingungen
• Kapitel Einf hrung in die FEM u
• die Starrkrperverschiebungen jedes Elementes und o
• zumindest konstante Spannungen in den Elementen
• beschreiben m ssen u
• e in der Form
• d h C stetig auf e
•  Ingenieurmßige Darstellung der linearen FEM a
• Potentialeigenschaften der inneren und ußeren a Krfte a
• uT N T dA u bdV
• T T u D E D udV
• u b dV uberf hrt werden u
• i a i a u t dA
• T T u D E D u dV
• vx H I R
• das bekannte Ergebnis nmlich a
• sowie mit N N N
• Einfhrung globaler Knotenverschiebungsvektoren u
• f r die Knoten u
• und den Knotenverschiebungen
• Wir erhalten aus
• Die Elementsteigkeitsmatrix ergibt sich zu
• B T E B dV k T e
• F r den Elementlastvektor gilt u
• Damit erhlt man aus der Bedingung a
• und der Fehler der Spannungen
• in der Fehlerordnung
•  Anhang A Bezeichnungen t t Bt
• Materieller Krper o
•  Anhang A Bezeichnungen
• T F F H HT HT H
• Almansischer Verzerrungstensor FT F H HT HT H
• Materieller Deformationsgradient F Grad x
• x Jakobische Funktionaldeterminante J det F det
• H Hsym Hasym IED
• IC IIC IIIC
• det F div x I I
• Zeitliche Ableitungen Lokale Form der Massenerhaltung
• Geschwindigkeit Beschleunigung Rumlicher Geschwindigkeitsgradient a
• d grad x grad xT
• Erhaltungssatz von der Bewegungsgße o
• DI I Ft Fb Dt
• Rumliche Formulierung a
• Drehimpuls des materiellen Krpers o
• df f a da t lim
• Moment der eingeprgten ußeren Volumenkraftdichte b a a
• tx t n tx t n
• Das CauchyTheorem Cauchyscher Spannungstensor
• T T ik ek ei
• P det F T FT
• S F P det F F TFT
• W T F F F
• Die Denition des Spannungstensors der klassischen Elastizittstheorie a
• LT LP LS
• Darstellung des Hookeschen Werkstogesetzes in Indexschreibweise
• Statische Feldgleichungen DT k
• Die LamNavierschen Verschiebungsdierentialgleie chungen in tensoranalytischer Darstellung
• Die Gleichung von Michell in Koezientendarstellung il kkli
• ik ll ik T ik G
• b x v dv Bt
• Die biharmonische Dierentialgleichung f r die Verschieu bungskomponenten
• Adams RA Sobolev Spaces New York Academic Press
• Bathe KJ Finite Elemente Methoden Berlin Springer
• Kauderer H Nichtlineare Mechanik Berlin Springer
• Novozhilov VV Thin Shell Theory Groningen P Noordho
• Villaggio P Qualitative Methods in Elasticity Leyden Noordho

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