Einführung in das symbolische Rechnen

Titel: Einführung in das symbolische Rechnen
Organisation: UNI LEIPZIG
Seitenzahl: 138

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Inhalt

Das Anliegen dieses Kurses
Computeralgebrasysteme im Einsatz
Computeralgebrasysteme als Taschenrechner fur Zah len
sumii float sqrt PI sinPI sinPI sinPI
DIGITS pfloatPI sinp delete DIGITS
CAS als ProblemlosungsUmgebungen
RDomIntegerMod R mod
Betrachten wir die gefundenen Zahlen nher a
solche Funktion powermod gibt es auch in MuPAD
Computeralgebrasysteme als Expertensysteme
x cos x a x a x
ssolvesinx x
ssolvesinxx
EnvAllSolutionstrue solvesinx B Z
x sin cosx
MuPADs Antwort lautet ssolvesinxcosxx arctan
Mathematica schließlich sSolveSinxCosxx
Erweiterbarkeit von Computeralgebrasystemen
Numerisches versus symbolisches Rechnen
Was ist Computeralgebra
Computeralgebrasysteme CAS Ein Uberblick
Die Anfnge a
CAS der zweiten Generation
Derive und CAS in der Schule
Entwicklungen der er Jahre MuPAD und Magma
Computeralgebra ein schwieriges Marktsegment fur Software
Computeralgebrasysteme der dritten Generation
Aufbau und Arbeitsweise eines CAS der zweiten Generation
CAS Eine Anforderungsanalyse
Interpreter versus Compiler
Bibliotheken Pakete Module
CAS als komplexe Softwareprojekte
CAS als moderne Softwaresysteme
Der prinzipielle Aufbau eines Computeralgebrasystems
fensterbasierte Version version
Schnittstelle zu externen Programmen
Bild Prinzipieller Aufbau eines ComputeralgebraSystems
Datenreprsentation a und Speicherverwaltung
Sammlung ezient implementierter Grundalgorithmen
Schnittstelle zu anderen Systemkomponenten
Schnittstelle zu Anwender und Spezialbibliotheken
Bild Komponenten des SystemkernDesigns
Anforderungen an das Systemkerndesign
Klassische und symbolische Programmiersysteme
Datentypen und Polymorphie
Zur internen Darstellung von Ausdrucken in CAS
Maple und Maxima
Datendarstellung in MuPAD
heißen die drei Funktionen car cdr und cons
Das Variablenkonzept des symbolischen Rechnens
unprotectPi Pi P i uarctan u u
Auswerten von Ausdrucken
RecursionLimitreclim Recursion depth of exceeded
Error recursive assignment
Binding stack overflow restarting
Tabelle Unterschiedliches Auswertungsverhalten von Maxima und Maple
Listen und Steuerstrukturen im symbolischen Rechnen
Zugri auf Listenelemente
Tabelle Zugrisoperatoren auf Listenelemente in verschiedenen CAS
Listengenerierung und transformation
u sinu mapusin sin sin sin sin
Axiom Maxima Maple Mathematica MuPAD Reduce
zipfl l Threadfl ln zipl l f
Tabelle Weitere elementare Listentransformationen
Ein komplexes Beispiel MuPAD
x x x x x x x
x x x x x
Der Funktionsbegri im symbolischen Rechnen
Boolesche Ausdrucke und Boolesche Funktionen
Error Cant evaluate to boolean less
darstellen Wegen kommt also
ganzen Zahlen beliebig nahe
Das Simplizieren von Ausdrucken
in eine Dierenz von Logarithmen zu e e
auf teilweise speziellen Datenstrukturen
Das funktionale Transformationskonzept
x x x factorf mod x x
Factorf mod x
F r u Details
Das regelbasierte Transformationskonzept
normal x x x x
Zusammenhang mit anderen CASKonzepten
Globalf fx x
Globalf fx y fx fy fx x
Entwicklung regelbasierten Programmierens im Design von CAS
operator s s ws where rule
Simplikation und mathematische Exaktheit
Derive x x
Maxima x x x x i
lnexpx lnexp i
x x arctantan
MuPAD assumeyTypeReal assumex getpropx getpropy
Maxima declareyreal assumex factsx factsy
x KINDy REAL
Das allgemeine Simplikationsproblem
Die Formulierung des Simplikationsproblems
die Funktion Integrate ließ eine Option Assumptions zu
U true gilt
e e le le
fr e e E u
Simplikation und Ergebnisqualitt a
Simplikation polynomialer und rationaler Ausdrucke
Polynome in distributiver Darstellung
fr alle s t u T u
Polynome in rekursiver Darstellung
Tabelle Rationale Normalform bilden
sin x sin x
simplifyv ex cosx cosx x
Trigonometrische Ausdrucke und Regelsysteme
man mit flagpsinodd und flagpcoseven erkennt
ak sinkx bk coskx c
f x sinnx dx
sinkx sinnx dx
coskx sinnx dx c
cosk nx cosk nx dx
sinn kx sinn kx dx
fr m u fr m u
n sinxk cosxnk k
Wirkung Derive Maxima Maple Mathematica MuPAD Reduce
Argumentsummen ausen o
Produkte zu Mehrfachwinkeln
Trig Exp exponentialize convertuexp TrigToExp rewriteuexp
Exp Trig demoivre convertutrig ExpToTrig rewriteusincos
S Expand trigexpand expand TrigExpand expand
S Collect trigreduce combine TrigReduce combine
eine rationale Funktion Dann kann x Rtan dx
cos x cos x cos x
Rechnen mit Nullstellen dritten Grades
i x i x
Maxima ist der Doppelpunkt der Zuweisungsoperator
papplymaplambdauxsubstuxsol pexpandp x x
Die allgemeine Lsung einer Gleichungen dritten Grao des
b c a c a b abc
Ist D so hat g mit arccos
drei reelle Nullstellen k k
p yk cos
Die allgemeine Lsung einer Gleichungen vierten Grao des
Die RootOf Notation
i i i i
Mit algebraischen Zahlen rechnen
Die Stellung des symbolischen Rechnens im Wissenschaftsgebude a
Zur Genese von Wissenschaft im Industriezeitalter
Beweis von Gesetzmßigkeiten a
Verdichten in Theorien
Symbolisches Rechnen und der Computer als Universalmaschine
Und wie wird es weitergehen
PP PP PP P q P
semantisch unendliche aber beschreibungsendliche mathematische Strukturen
Endlichkeit der Strukturen selbst
Die Genese der Computermathematik
Anhang Die Ubungsaufgaben
denn a b ist ja ab nach den
kommt einer ganzen Zahl sehr nahe
N dass f x C xd o
N b kein volles
N vereinfacht werden kann
auf folgende Weise

Vorschau

Skript zum Kurs Einfuhrung in das symbolische Rechnen ¨ Wintersemester 2005/06

H.-G. Gr¨be, Institut f¨r Informatik a u http://www.informatik.uni-leipzig.de/~graebe 26. Januar 2006

Inhaltsverzeichnis

1 Computeralgebrasysteme im Einsatz 1.1 Computeralgebrasysteme als Taschenrechner f¨r ahlen . . . . . . . . . . . . . . . u 1.2 Computeralgebrasysteme als Taschenrechner f¨r Formeln und symbolische Ausdr¨cke u u 1.3 CAS als Probleml¨sungs-Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4 Computeralgebrasysteme als Expertensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Erweiterbarkeit von Computeralgebrasystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Numerisches versus symbolisches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Was ist Computeralgebra ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.8 Computeralgebrasysteme (CAS) – Ein Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Die Anf¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.8.2 CAS der zweiten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Derive und CAS in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Entwicklungen der 90er Jahre – MuPAD und Magma . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Computeralgebra – ein schwieriges Marktsegment f¨r Software . . . . . . . u 1.8.6 Computeralgebrasysteme der dritten Generation . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aufbau und Arbeitsweise eines CAS der zweiten Generation 2.1 CAS. Eine Anforderungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der prinzipielle Aufbau eines Computeralgebrasystems . . . . . . 2.3 Klassische und symbolische Programmiersysteme . . . . . . . . . 2.4 ur internen Darstellung von Ausdr¨cken in CAS . . . . . . . . . u 2.5 Das Variablenkonzept des symbolischen Rechnens . . . . . . . . . 2.6 Listen und Steuerstrukturen im symbolischen Rechnen . . . . . . 2.7 Der Funktionsbegriﬀ im symbolischen Rechnen . . . . . . . . . . 3 Das 3.1 3.2 3.3 3.4 Simpliﬁzieren von Ausdr¨ cken u Das funktionale Transformationskonzept . . . . . . . . Das regelbasierte Transformationskonzept . . . . . . . Simpliﬁkation und mathematische Exaktheit . . . . . . Das allgemeine Simpliﬁkationsproblem . . . . . . . . . 3.4.1 Die Formulierung des Simpliﬁkationsproblems . 3.4.2 Termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Simpliﬁkation und Ergebnisqualit¨t . . . . . . a Simpliﬁkation polynomialer und rationaler Ausdr¨cke u 1 6 6 8 9 13 17 19 20 22 22 23 25 26 28 30 32 32 36 39 43 47 54 60 67 69 73 78 83 83 85 86 87

. . . . . . .

3.5 . . . . . . . .

Prof. Gr¨be: Einf¨ hrung in das symbolische Rechnen a u

3.6 3.7

3.5.1 Polynome in distributiver Darstellung . 3.5.2 Polynome in rekursiver Darstellung . . . 3.5.3 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . 3.5.4 Verallgemeinerte Kerne . . . . . . . . . Trigonometrische Ausdr¨cke und Regelsysteme u Das allgemeine Simpliﬁkationsproblem . . . . .

. . . . . .

. 87 . 87 . 88 . 89 . 92 . 100 105 106 111 114 115 118 120 120 124 126

4 Algebraische ahlen 4.1 Rechnen mit Nullstellen dritten Grades . . . . . . . . . . 4.2 Die allgemeine L¨sung einer Gleichungen dritten Grades . o 4.3 ∗ Die allgemeine L¨sung einer Gleichungen vierten Grades o 4.4 Die RootOf-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Mit algebraischen ahlen rechnen . . . . . . . . . . . . . . 5 Die 5.1 5.2 5.3

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Stellung des symbolischen Rechnens im Wissenschaftsgeb¨ude a ur Genese von Wissenschaft im Industriezeitalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symbolisches Rechnen und der Computer als Universalmaschine . . . . . . . . . . Und wie wird es weitergehen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .