Skript Differentialgeometrie

Differentialgeometrie

Daniel Grieser

Skript zur Vorlesung im Wintersemester 2008/2009

Einleitung

Dies ist das Skript zur Vorlesung ‚Differentialgeometrie‘, die ich im Wintersemester 2008/2009 an der Universität Oldenburg gehalten habe. Dies ist eine erste Einführung in die Differentialgeometrie. Sie richtet sich an Hörerinnen und Hörer etwa ab dem fünften Studiensemester. Worum geht es in der Differentialgeometrie? Geometrie ist das Studium von ‚Figuren‘. .B. kennt man aus der Schule die Geometrie der Dreiecke, Vierecke oder Kreise, aus der linearen Algebra die Geometrie der Geraden, Ebenen, allgemeiner der linearen oder affinen Unterräume eines Vektorraums. Die in der Differentialgeometrie untersuchten Figuren sind, allgemein gesprochen, Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die wichtigsten Exemplare hiervon sind zunächst die Kurven in der Ebene oder im Raum, dann die (möglicherweise gekrümmten) Flächen im Raum, dann deren höherdimensionale Verallgemeinerungen, d.h. die Untermannigfaltigkeiten des Rn . Der Begriff ‚Riemannsche Mannigfaltigkeit‘ ist dann eine Abstraktion, welche die für die Geometrie (genauer die innere Geometrie, siehe unten) wesentlichen Eigenschaften dieser Untermannigfaltigkeiten erfasst und die unwesentlichen weglässt. Hier sind einige Fragen, auf die wir in der Vorlesung Antworten finden werden. (1) Was bedeutet Krümmung? umindest für Kurven hat man eine anschaulichen Vorstellung davon, was stark oder weniger stark gekrümmt bedeutet. Für Flächen wird es komplizierter, da sie in verschiedenen ‚Richtungen‘ verschieden stark gekrümmt sein können, z.B. ist der ylinder (womit die ylinderoberfläche ohne oberen und unteren Deckel gemeint sei) entlang einem Querschnittskreis gekrümmt, nicht aber entlang einer Mantellinie. Wie fasst man das mathematisch? Das heißt, wie kann man Krümmung quantifizieren? Wie berechnet man die Krümmung für die verschiedenen Arten, auf die eine Kurve oder Fläche gegeben sein kann (als Graph oder mittels einer Parametrisierung oder als Niveaumenge)? (2) Kartographen wissen seit Jahrhunderten, dass es unmöglich ist, verzerrungsfreie Landkarten von der Erde (oder auch nur von beliebigen Teilgebieten der Erde) zu zeichnen. Verzerrungsfrei heißt hierbei, dass alle Längen in derselben Proportion korrekt wiedergegebenen werden, und eine Landkarte soll natürlich auf einem Blatt Papier, also einem Gebiet in der Ebene, gezeichnet sein. Für Gebiete auf einem ylinder gibt es dagegen verzerrungsfreie Landkarten (zumindest für solche Gebiete, die genügend klein sind, z.B. eine feste Mantellinie nicht treffen). Was macht den Unterschied zwischen Sphäre (= Erdoberfläche) und ylinder? Wie sieht man einer beliebigen Fläche an, ob sie verzerrungsfreie Landkarten zulässt? (3) Wie bestimmt man die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte auf einer gegebenen Fläche, die ganz innerhalb der Fläche verläuft? (4) Was ist der gekrümmte Raum, der zentrale Begriff der allgemeinen Relativitätstheorie, den wohl jeder schon einmal gehört hat? Die Krümmung ist der zentrale Begriff der Differentialgeometrie. Wie wir sehen werden, bildet die Krümmung auch den Schlüssel zu Frage 2) – jedoch nicht die volle Krümmungsinformation der Fläche, sondern nur ein Teil davon, die sogenannte Gauß-Krümmung. Das vorliegende Skript gliedert sich in drei Teile: Kurven (Kapitel 1), Flächen (Kapitel 2 und 3) und Riemannsche Mannigfaltigkeiten (Kapitel 4). Bei den Kurven und Flächen nehmen wir meist an, dass

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